86 空间向量及其运算练习题

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1、§8.6空间向量及其运算一、选择题1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)．A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析　若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．答案　C2．以下四个命题中正确的是(　　)．A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c

2、，c＋a}构成空间向量的另一组基底C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析　若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案　B3．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.③若＝x＋y，则P，M，A、B共面；④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.其中真命题的个数是(　　)．A．1B．2C．3D．4解析

3、　其中①③为正确命题．答案　B4.如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析＝＋＝＋＋＝－a＋b＋c.答案　A5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)．A．0B.C.D.解析　设＝a，＝b，＝c由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且

4、b

5、＝

6、c

7、，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝

8、a

9、

10、c

11、－

12、a

13、

14、b

15、＝0，∴cos〈，〉＝0.答案　A6．如图，在

16、大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)A.B.C．1D.解析＝＋＋，∴

17、

18、2＝

19、

20、2＋

21、

22、2＋

23、

24、2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故

25、

26、＝.答案　D7．下列命题中①若a∥b，b∥c，则a∥c；②不等式

27、a＋b

28、＜

29、a

30、＋

31、b

32、的充要条件是a与b不共线；③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d.正确命题的个数是(　　)．A．0B．1C．2D．3解析　只有命题③是正确命题．答案　B二、填空题8．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，

33、M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________________．解析　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋×(＋)－×＝＋＋∴x，y，z的值分别为，，.答案　，，9.设R，向量，且，则解析.答案10．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．解析如图，＝＋＋＝＋＋，所以

34、AC′

35、＝

36、

37、＝

38、＋＋

39、＝＝＝.答案11．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·

40、(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为

41、··

42、.其中正确命题的序号是________．解析由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中

43、··

44、＝0.故④也不正确．答案①②12．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．X解析　设＝a，＝b，＝c.OA与BC所成的角为θ，·＝a(c－b)＝a·c－a·b

45、＝a·(a＋)－a·(a＋)＝a2＋a·－a2－a·＝24－16.∴cosθ＝＝＝.答案　三、解答题13．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．证明令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1，e2不共线，∴易知是其中一组解，则－5＋＋＝0.∴A、B、C、D共面．14．如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的