86 空间向量及其运算练习题

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1、§8.6空间向量及其运算一、选择题1.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是(  ).A.{a,a+b,a-b}B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b}D.{a+b,a-b,a+2b}解析 若c、a+b、a-b共面,则c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故c,a+b,a-b可构成空间向量的一组基底.答案 C2.以下四个命题中正确的是(  ).A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c

2、,c+a}构成空间向量的另一组基底C.△ABC为直角三角形的充要条件是·=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若a+b、b+c、c+a为共面向量,则a+b=λ(b+c)+μ(c+a),(1-μ)a=(λ-1)b+(λ+μ)c,λ,μ不可能同时为1,设μ≠1,则a=b+c,则a、b、c为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量基底矛盾.答案 B3.有下列命题:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb.③若=x+y,则P,M,A、B共面;④若P,M,A,B共面,则=x+y.其中真命题的个数是(  ).A.1B.2C.3D.4解析

3、 其中①③为正确命题.答案 B4.如图,在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是AC与BD的交点,若=a,=b,=c则下列向量中与相等的向量是(  )A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c解析=+=++=-a+b+c.答案 A5.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为(  ).A.0B.C.D.解析 设=a,=b,=c由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=,且

4、b

5、=

6、c

7、,·=a·(c-b)=a·c-a·b=

8、a

9、

10、c

11、-

12、a

13、

14、b

15、=0,∴cos〈,〉=0.答案 A6.如图,在

16、大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(  )A.B.C.1D.解析=++,∴

17、

18、2=

19、

20、2+

21、

22、2+

23、

24、2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,故

25、

26、=.答案 D7.下列命题中①若a∥b,b∥c,则a∥c;②不等式

27、a+b

28、<

29、a

30、+

31、b

32、的充要条件是a与b不共线;③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b,d=λa+μb(λ、μ∈R,且λμ≠0),则c⊥d.正确命题的个数是(  ).A.0B.1C.2D.3解析 只有命题③是正确命题.答案 B二、填空题8.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB、AC,

33、M、N分别为OA、BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x,y,z的值分别为________________.解析 ∵=+=+=+(-)=+-=+×(+)-×=++∴x,y,z的值分别为,,.答案 ,,9.设R,向量,且,则解析.答案10.在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD-A′B′C′D′中,AB=1,AD=2,AA′=3,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,则AC′的长为________.解析如图,=++=++,所以

34、AC′

35、=

36、

37、=

38、++

39、===.答案11.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,①(++)2=32;②·

40、(-)=0;③向量与向量的夹角是60°;④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为

41、··

42、.其中正确命题的序号是________.解析由⊥,⊥,⊥⊥,得(++)2=3()2,故①正确;②中-=,由于AB1⊥A1C,故②正确;③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°,但与的夹角为120°,故③不正确;④中

43、··

44、=0.故④也不正确.答案①②12.如图,空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值等于________.X解析 设=a,=b,=c.OA与BC所成的角为θ,·=a(c-b)=a·c-a·b

45、=a·(a+)-a·(a+)=a2+a·-a2-a·=24-16.∴cosθ===.答案 三、解答题13.已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证:A、B、C、D共面.证明令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0.则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0.∵e1,e2不共线,∴易知是其中一组解,则-5++=0.∴A、B、C、D共面.14.如右图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,G为△BC1D的

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