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《课外补充习题和自测题-多元微分函数及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、基本题1.确定下列二元函数的定义域,并画出它们在xOy平面上的图形:(1)z=,(2)z=ln(x,(3)z=,(4)z=sin.2.设函数f(x,y)=,求f(0,1),f(1,1),f(2,-3),f(x,x),f(y,x),f(1,),f(t,x).3.设(y>0),求.4.设函数=,证明二次极限但是二重极限不存在.5.证明.提示:6.求下列函数在指定点的偏导数:(1)设=,求,(2)设=求,(3)设求,(4)设求，.7.求下列函数关于各个自变量的偏导数:(1)(2),(3)(4)(5),(6)(7)(8)(9),(10),其中为可导函数.8.求曲面z=xy与平面x
2、=3的交线上点P(3,4,12)处的切线对于y轴的正向的斜率.9.验证:(1)函数满中方程,(2)函数满足方程.10.在下列函数中,求,,:(1)(2),(3),(4).11,在下列函数中,求,,:(1)(2)(3)(3).12.证明函数,满足方程.13.证明函数,满足方程=014.求下列函数的全微分:(1)求,(2)(3)(4)(5)(6)其中是可导函数.15.计算的近似值.16.一圆锥体变形时,它的底半径R由30cm增加到30.1cm,高度H由60cm减少到59.5cm,求体积的近似改变量.17.为开通一隧道,要测量山两侧A,B两点之间的直线距离,现测得从观测点O到A
3、点的距离为a=70m,到点B的距离b=100m,而(如图所示).已知长度a,b的误差限为0.1m,角度的误差限为,试用余弦定理计算AB的忠诚孤近似值,并估计近似值的绝对误差限和相对误差限.18.分析下列函数的复合结构,填空:(1)若函数则是_______个中间变量,________个自变量的复合函数.(2)若是的函数,又都是x,y的函数,则z是________个中间变量,________个自变量的复合函数.(3)若又y=g(x),则z是_______个中间变量,________个自变量的复合变量.(4)若则是_______个中间变量,________个自变量的复合函数.1
4、9.设,,,求.20.设,,,求.21.设,,,求.22.设,,,求.23.设,,求.24.设求.25.设,其中是可微函数,求.26.设,其中是可微函数,求.27.试用复合函数的链式法则,求下列函数的偏导数:(1)(2)28.设其中为二阶可导,求.29.设其中具有二阶连续的偏导数,求.30.设其中具有二阶连续的偏导数,求.31.设其中具有二阶连续的偏导数,求.32.设函数在点P(1,1)处可微,且(1,1)=1求.33.设函数其中为二阶可导函数,证明.34.设y=y(x)是由方程确定的隐函数,试用直接求导和套用公式两种方法求.35.设z=z(x,y)是由方程确定的隐函数,
5、求,.36.设z=z(x,y)是由方程确定的隐函数,其中为可导函数,求,.37.设z=z(x,y)是由方程为常数)确定的隐函数,其中为可导函数,求,.38.设是由方程确定的隐函数,其中F为可微函数,求,.39.设求,.40.设求,.41.设,由方程确定的隐函数,求.42.设,由方程确定的隐函数,求.43.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程:(1),,,在,(2),,在点,(3),,在点,(4),,在点,(5),在点.44.在曲线,,上求一点,使该点的切线平行于平面.45.求下列曲面在指定点处的切平面方程和法线方程:(1),点,(2),点,(3),点.46.求在圆柱
6、面与平面的交线上点处的切线方程和法平面方程.47.求椭球面上平行于平面的切平面方程.48.求下函数的极值:(1),(2),(3),(4).49.(1)设四个正数,,,之和为常数,求乘积的最大值,(2)求函数在闭圆域上的最大值与最小值.50.求球面上与定点距离最近点与最远点.51.在椭圆上求一点P,使其到直线的距离最近.52.在抛物面上求一点P,使到平面最近,并计算最近距离.53.在半径为R的半球内嵌入有最大体积的长方体,并求出最大体积.54.在直圆锥与所围的立方体内嵌入一个有最大体积的长方体,求出其棱长及最大体积.55.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为(
7、元/件)和(元/件),销售量分别为(件)和(件),市场需求量与价格的关系为和,总成本函数为.试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?最大总利润是多少?56.求下列函数在指定点和沿指定方向的方向导数:(1),在点,沿方向,(2),在点,沿方向角分别为,,的方向.57.用下面两种方法,求函数在点P(1,2,3)处沿方向的方向导数(O为原点):(1)用方向导数公式;(2)利用梯度在该方向上的投影.58.求下列函数在指定点的梯度:(1),在点(1,1,1),(2),在点(1,1,-1),(3),在点(2,1,3).5
