2004-2014历年考研数学三真题及答案解析

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1、2012年全国硕士研究生入学统一考试2014年考研数学三真题与解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．设，则当充分大时，下列正确的有（）（A）（B）（C）(D)【详解】因为，所以，，当时，有，即，，取，则知，所以选择（A）2．下列曲线有渐近线的是（A）（B）（C）（D）【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线应该选（C）3．设，则当时，若是比高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（）（A）（B）（C）（D）【详解】只要熟练记忆当时，显然，应该选（D）生命不息-90-奋斗不止2012年全国硕士研究生入学统一考试4．设函数具

2、有二阶导数，，则在上（）（A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时，【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点及常数，恒有，则曲线是凸的．显然此题中，则，而，故当时，曲线是凹的，即，也就是，应该选（D）【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D）５．行列式等于（A）（B）（C）（D）【详解】生命不息-90-奋斗不止2012年全国硕士研究生入学统一考试应该选（B）．6．设是三维向量，则对任意的常数，向量

3、，线性无关是向量线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件【详解】若向量线性无关，则（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）．7．设事件A，B想到独立，则（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4【详解】．所以，．故选择（B）．8．设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布是（A）（B）（C）（D）生命不息-90-奋斗不止2012年全国硕士研究生入学统一考试【详解】，显然，，且与相互独立，从而故应该选择（C）．二、

4、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．设某商品的需求函数为（为商品的价格），则该商品的边际收益为．【详解】，边际收益．10．设D是由曲线与直线及所围成的有界区域，则D的面积为．【详解】11．设，则．【详解】．所以12．二次积分．【详解】13．设二次型的负惯性指数是1，则生命不息-90-奋斗不止2012年全国硕士研究生入学统一考试的取值范围是．【详解】由配方法可知由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．14．设总体X的概率密度为，其中是未知参数，是来自总体的简单样本，若是的无偏估计，则常数=．【详解】，所以，由于是的无偏估计，

5、故，．三、解答题15．（本题满分10分）求极限．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】16．（本题满分10分）设平面区域．计算【详解】由对称性可得生命不息-90-奋斗不止2012年全国硕士研究生入学统一考试17．（本题满分10分）设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．【详解】设，则，;；由条件，可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：其中为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为．故非齐次方程通解为．将初始条件代入，可得．生命不息-90-奋斗不止2012年全国硕士研究生入学统一考试所以的表达式为．18．

6、（本题满分10分）求幂级数的收敛域、和函数．【详解】由于，所以得到收敛半径．当时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为．令和函数，则19．（本题满分10分）设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：（1）；（2）．【详解】（1）证明：因为，所以．即．（2）令，则可知，且，因为且单调增加，所以．从而，也是在单调增加，则，即得到生命不息-90-奋斗不止2012年全国硕士研究生入学统一考试．20．（本题满分11分）设，E为三阶单位矩阵．（1）求方程组的一个基础解系；（2）求满足的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：，得到方程组同解方程组得到的一个基

7、础解系．（2）显然B矩阵是一个矩阵，设对矩阵进行进行初等行变换如下：由方程组可得矩阵B对应的三列分别为生命不息-90-奋斗不止2012年全国硕士研究生入学统一考试，，，即满足的所有矩阵为其中为任意常数．21．（本题满分11分）证明阶矩阵与相似．【详解】证明：设，．分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：，所以A的个特征值为；而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且；所以B的个特征值也为；生命不息-90-奋斗不止2012年全国硕士研究生入学统一考试对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵B存在个线