《平面向量的正交分解及坐标表示》教案

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1、《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案一、教学目标1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。二、教学重难点重点：平面向量的坐标表示及坐标运算；难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解。三、教具多媒体课件四、教学过程设计一、复习回顾问题情境【回顾】平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个

2、不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．【问题】在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、理解概念加深认识如图，在直角坐标系

3、内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。结合定义，指导学生求出向量、、的坐标。（多媒体演示）如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定。设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。在坐标系中观察，向量及的坐标与

4、其终点坐标有何关系？这几个向量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让学生得到结论：起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标。类比点的坐标，提出：向量平移后具体位置发生了改变，其坐标是否会发生变化？通过动画演示，指出：平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到坐标原点处，则其终点必然重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标，由此得到：相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量。三、自主探索，推导法则请学生自己讨论推导，教师归纳整理，由此得出

5、平面向量的坐标运算法则：（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：（其中）（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：若，则；探究二：若已知其起点坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？先来看一个具体的例子：求出图中的向量的坐标，并观察其坐标与其起点坐标、终点坐标之间有何关系？1（引导学生从特殊到一般，归纳猜想）学生不难发现：其坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标。再将A,B的坐标推广到一般的，可得相应结论。由此，得到一个重要的结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向

6、线段的终点的坐标减去始点的坐标。四、应用举例，加深理解例1、如图，用基底分别表示向量，并求出它们的坐标。例2、已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标。例3、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。