高中数学必修1-必修5习题例题精选

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1、第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ1.设函数的定义域为，则集合与相等吗？请说明理由。2.已知一个函数的解析式为，它的值域为，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数。3.对于任意的,若函数，试比较与的大小关系。4.已知定义在实数集上的函数满足条件：对于任意的，，求证：1)；2)是奇函数。你能举出几个满足上述条件的函数吗？（必修2）立体几何初步变式题1、（必修2P.60习题1.3第9题）变题如图是一个几何体的三视图（单位：cm）（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线与所成的角为，求．俯视图正视图侧视图解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．（

2、Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．由于底面的高为1，所以．故所求全面积　　　　　　．这个几何体的体积（Ⅲ）因为，所以与所成的角是．　　　在中，，　　　故．2、（必修2P.18习题1.1第7题）变题如图，已知几何体的三视图（单位：cm）．（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积；（Ⅲ）设异面直线、所成角为，求．解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示．　俯视图正视图侧视图（Ⅱ）这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体．由，，可得．故所求几何体的全面积所求几何体的体积（Ⅲ）由，且，可知，故为异面直线、所成的角（或其补角）．由题设知，，取中点，则，且，．由余弦定理，

3、得　　　　　　　　　　　　　　　　3、（必修2P.48习题1.2(3)第8题）变题如图，已知、分别是正方体的棱和棱的中点．（Ⅰ）试判断四边形的形状；（Ⅱ）求证：平面平面．解（Ⅰ）如图，取的中点，连结、．∵、分别是和的中点，∴，在正方体中，有，　∴，∴四边形是平行四边形，∴．又、分别是、的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴．故．∴四边形是平行四边形．又≌，∴，故四边形为菱形．（Ⅱ）连结、、．∵四边形为菱形，∴．在正方体中，有，∴平面．又平面，∴．又，∴平面．又平面，故平面平面4、（必修2P.38习题1.2(2)第6题）变题如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点

4、，交于点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值．解：（Ⅰ）如图4－2，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．∴．设，则．∵，∴．∴，∴，．又，∴且．∴且．∴且．∴平面．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，又，∴．∴与平面所成角的正弦值为．5、（必修2P.47练习第4题）变题1如图，已知平面，且是垂足．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．解（Ⅰ）因为，所以．同理．又，故平面．（Ⅱ）设与平面的交点为，连结、．因为平面，所以，所以是二面角的平面角．又，所以，即．在平面四边形中，，所以．故平面平面．变题2如图，已知直二面角，与平面、所

5、成的角都为，．为垂足，为垂足．（Ⅰ）求直线与所成角的大小；（Ⅱ）求四面体的体积．解：（Ⅰ）如图，在平面内，作，连结、．则四边形为平行四边形，所以，即为直线与所成的角（或其补角）．因为．所以．同理．又与平面、所成角为，所以，，所以，．在中，，从而．因为，且为平行四边形，所以．又，所以．故平面，从而．在中，．所以，即直线与所成角的大小为．（Ⅱ）在中，，所以．三角形的面积，故四面体的体积．6、（必修2P.53练习第4题）变题如图，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．解（Ⅰ）在中，，在中，，∵，∴．∵平面平面，且交线为，∴平面．

6、∵平面，∴．（Ⅱ）设与相交于点，由（Ⅰ）知，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面，且交线为，如图，作，垂足为，则平面，连结，则是直线与平面所成的角．由平面几何的知识可知，∴．在中，，在中，，可求得．∴．∴直线与平面所成的角的正弦值为．7、（必修2P.38习题1.2（2）第5题）变题如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（Ⅰ）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（Ⅱ）、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。解：（１）故。所以。又.故在△，即.故当时，直线。（Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而8、（必修

7、2P.47习题1.2（3）第7题）变题在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.(1)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC∵