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1、高考总复习高中数学高考总复习不等式选讲习题及详解一、选择题1.对任意x∈R,
2、2-x
3、+
4、3+x
5、≥a2-4a恒成立,则a的取值范围是( )A.-1≤a≤5B.-16、2-x7、+8、3+x9、≥5,要使10、2-x11、+12、3+x13、≥a2-4a恒成立,即5≥a2-4a,解得-1≤a≤5.2.(2010·山师大附中模考)已知a>0,b>0且+=1,则a+2b的最小值为( )A.7+2B.2C.7+2D.14[答案] A[解析] a+2b=(a+2b)=7++≥7+2,等号在b=a时14、成立.3.已知0NC.M=ND.不确定[答案] B[解析] ∵00,b>0,∴M-N=+==>0,∴M>N.4.下列结论:①(1+x)n>1+nx(x∈R,n∈N*)含详解答案高考总复习②(1+x)n>1+nx(x>-1,n∈R)③(1+x)n>1+nx(x>-1,0-1,0-1,n<0)其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个[答案] B[解析15、] 根据贝努利不等式可知,(1+x)n>1+nx的条件为x>-1(n∈N*,n>1);(1+x)n≥1+nx的条件为x>-1,n>1或n<0;(1+x)n≤1+nx的条件为x>-1,016、的二元函数f(x,y)称为关于实数x,y的广义“距离”:(1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号;(2)对称性:f(x,y)=f(y,x);(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数:①f(x,y)=17、x-y18、;②f(x,y)=(x-y)2;③f(x,y)=.其中能够成为关于x,y的广义“距离”的二元函数的序号是( )含详解答案高考总复习A.①B.①②C.②③D.①②③[答案] A[解析] 对函数f(x,y)=19、x-y20、,∵f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等21、号,满足非负性;f(y,x)=22、y-x23、=24、x-y25、=f(x,y),满足对称性;由26、a+b27、≤28、a29、+30、b31、得32、x-y33、=34、(x-z)+(z-y)35、≤36、x-z37、+38、z-y39、对任意的实数z均成立.即f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y),满足三角形不等式.故①满足广义“距离”.对函数f(x,y)=(x-y)2,显然满足非负性和对称性.∵当z=0时,f(x,y)-[f(x,0)+f(0,y)]=-2xy,显然不恒小于等于零,故不满足三角形不等式,故②不满足广义“距离”.对函数f(x,y)=,显然不满足对称性.故③不满足广义“距离”.故选40、A.7.已知x、y、z∈R+,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是( )A.1B.C.D.3[答案] B[解析] x2+y2+z2=(12+12+12)(x2+y2+z2)×≥(1×x+1×y+1×z)2×=.8.已知a、b、c、d∈R+且S=+++,则下列判断中正确的是( )A.041、x+42、≥43、a-244、+1对一切非零实数x均成立,45、则实数a的最大值是________.[答案] 3[解析] 令f(x)=46、x+47、,∵f(x)=48、x+49、=50、x51、+52、53、≥2,∴54、a-255、+1≤2,解得1≤a≤3,故a的最大值是3.10.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为________.[答案] [解析] 2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=2a+4≥7,∴a≥.故a的最小值为.11.(2010·南京调研)设函数f(x)=56、x-157、+58、x-259、,则不等式f(x)>3的解集为________.[答案] (-∞,0)∪(3,+∞)[解析] 当x<160、时,有f(x)=1-x+2-x=3-2x.由f(x)>3得3-2x>3,解得x<0;当1≤x≤2时,有f(x)=x-1+2-x=1.此时,不等式f(x)>3无解;当x>2时,有f(x)=x-1+x-2=2x-3.由f(x
6、2-x
7、+
8、3+x
9、≥5,要使
10、2-x
11、+
12、3+x
13、≥a2-4a恒成立,即5≥a2-4a,解得-1≤a≤5.2.(2010·山师大附中模考)已知a>0,b>0且+=1,则a+2b的最小值为( )A.7+2B.2C.7+2D.14[答案] A[解析] a+2b=(a+2b)=7++≥7+2,等号在b=a时
14、成立.3.已知0NC.M=ND.不确定[答案] B[解析] ∵00,b>0,∴M-N=+==>0,∴M>N.4.下列结论:①(1+x)n>1+nx(x∈R,n∈N*)含详解答案高考总复习②(1+x)n>1+nx(x>-1,n∈R)③(1+x)n>1+nx(x>-1,0-1,0-1,n<0)其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个[答案] B[解析
15、] 根据贝努利不等式可知,(1+x)n>1+nx的条件为x>-1(n∈N*,n>1);(1+x)n≥1+nx的条件为x>-1,n>1或n<0;(1+x)n≤1+nx的条件为x>-1,016、的二元函数f(x,y)称为关于实数x,y的广义“距离”:(1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号;(2)对称性:f(x,y)=f(y,x);(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数:①f(x,y)=17、x-y18、;②f(x,y)=(x-y)2;③f(x,y)=.其中能够成为关于x,y的广义“距离”的二元函数的序号是( )含详解答案高考总复习A.①B.①②C.②③D.①②③[答案] A[解析] 对函数f(x,y)=19、x-y20、,∵f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等21、号,满足非负性;f(y,x)=22、y-x23、=24、x-y25、=f(x,y),满足对称性;由26、a+b27、≤28、a29、+30、b31、得32、x-y33、=34、(x-z)+(z-y)35、≤36、x-z37、+38、z-y39、对任意的实数z均成立.即f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y),满足三角形不等式.故①满足广义“距离”.对函数f(x,y)=(x-y)2,显然满足非负性和对称性.∵当z=0时,f(x,y)-[f(x,0)+f(0,y)]=-2xy,显然不恒小于等于零,故不满足三角形不等式,故②不满足广义“距离”.对函数f(x,y)=,显然不满足对称性.故③不满足广义“距离”.故选40、A.7.已知x、y、z∈R+,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是( )A.1B.C.D.3[答案] B[解析] x2+y2+z2=(12+12+12)(x2+y2+z2)×≥(1×x+1×y+1×z)2×=.8.已知a、b、c、d∈R+且S=+++,则下列判断中正确的是( )A.041、x+42、≥43、a-244、+1对一切非零实数x均成立,45、则实数a的最大值是________.[答案] 3[解析] 令f(x)=46、x+47、,∵f(x)=48、x+49、=50、x51、+52、53、≥2,∴54、a-255、+1≤2,解得1≤a≤3,故a的最大值是3.10.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为________.[答案] [解析] 2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=2a+4≥7,∴a≥.故a的最小值为.11.(2010·南京调研)设函数f(x)=56、x-157、+58、x-259、,则不等式f(x)>3的解集为________.[答案] (-∞,0)∪(3,+∞)[解析] 当x<160、时,有f(x)=1-x+2-x=3-2x.由f(x)>3得3-2x>3,解得x<0;当1≤x≤2时,有f(x)=x-1+2-x=1.此时,不等式f(x)>3无解;当x>2时,有f(x)=x-1+x-2=2x-3.由f(x
16、的二元函数f(x,y)称为关于实数x,y的广义“距离”:(1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号;(2)对称性:f(x,y)=f(y,x);(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.今给出三个二元函数:①f(x,y)=
17、x-y
18、;②f(x,y)=(x-y)2;③f(x,y)=.其中能够成为关于x,y的广义“距离”的二元函数的序号是( )含详解答案高考总复习A.①B.①②C.②③D.①②③[答案] A[解析] 对函数f(x,y)=
19、x-y
20、,∵f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等
21、号,满足非负性;f(y,x)=
22、y-x
23、=
24、x-y
25、=f(x,y),满足对称性;由
26、a+b
27、≤
28、a
29、+
30、b
31、得
32、x-y
33、=
34、(x-z)+(z-y)
35、≤
36、x-z
37、+
38、z-y
39、对任意的实数z均成立.即f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y),满足三角形不等式.故①满足广义“距离”.对函数f(x,y)=(x-y)2,显然满足非负性和对称性.∵当z=0时,f(x,y)-[f(x,0)+f(0,y)]=-2xy,显然不恒小于等于零,故不满足三角形不等式,故②不满足广义“距离”.对函数f(x,y)=,显然不满足对称性.故③不满足广义“距离”.故选
40、A.7.已知x、y、z∈R+,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是( )A.1B.C.D.3[答案] B[解析] x2+y2+z2=(12+12+12)(x2+y2+z2)×≥(1×x+1×y+1×z)2×=.8.已知a、b、c、d∈R+且S=+++,则下列判断中正确的是( )A.0
41、x+
42、≥
43、a-2
44、+1对一切非零实数x均成立,
45、则实数a的最大值是________.[答案] 3[解析] 令f(x)=
46、x+
47、,∵f(x)=
48、x+
49、=
50、x
51、+
52、
53、≥2,∴
54、a-2
55、+1≤2,解得1≤a≤3,故a的最大值是3.10.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为________.[答案] [解析] 2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=2a+4≥7,∴a≥.故a的最小值为.11.(2010·南京调研)设函数f(x)=
56、x-1
57、+
58、x-2
59、,则不等式f(x)>3的解集为________.[答案] (-∞,0)∪(3,+∞)[解析] 当x<1
60、时,有f(x)=1-x+2-x=3-2x.由f(x)>3得3-2x>3,解得x<0;当1≤x≤2时,有f(x)=x-1+2-x=1.此时,不等式f(x)>3无解;当x>2时,有f(x)=x-1+x-2=2x-3.由f(x
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