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1、曲线积分与曲面积分重点总结+例题 高等数学教案 曲线积分与曲面积分 第十章曲线积分与曲面积分 【教学目标与要求】 1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2.掌握计算两类曲线积分的方法。 3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。 【教学重点】 1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用； 3.第一类曲面积分的计算方法； 【教学难点】 1.两类曲线积分的关系
2、及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法； 7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学》，第五版.高等教育出版社. [2]同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.[3]同济大学数学系.《高等数学习题全解指南》，第六版.高等教育出版社 §对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量 设一曲线形构件所占的
3、位置在xOy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(xy)处的线密度为(xy)求曲线形构件的质量 把曲线分成n小段s1s2sn(si也表示弧长) 任取(ii)si得第i小段质量的近似值(ii)si 高等数学课程建设组 高等数学教案 曲线积分与曲面积分 整个物质曲线的质量近似为M(i,i)si i1n 令max{s1s2sn}0则整个物质曲线的质量为 Mlim(i,i)si 0i1n 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到 定义设函数f(xy)定义在可求长度的曲线L上并且有界，将L任意分成n个弧段
4、s1s2sn并用si表示第i段的弧长在每一弧段si上任取一点(ii)作和 f(i,i)si令max{s1s2sn}如果当0时这和的极限总存在则称此 i1n极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作 Lf(x,y)ds即 n limf(i,i)si Lf(x,y)ds0i1其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段 曲线积分的存在性当f(xy)在光滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分 Lf(x,y)ds是存在的以后我们总假定f(xy)在L上是连续的 根据对弧长的曲线积分的
5、定义曲线形构件的质量就是曲线积分中(xy)为线密度 对弧长的曲线积分的推广 L(x,y)ds的值其 limf(i,i,i)sif(x,y,z)ds0i1n 如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2则规定 LL12f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds L1L2闭曲线积分如果L是闭曲线那么函数f(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 Lf(x,y)ds 高等数学课程建设组 高等数学教案 曲线
6、积分与曲面积分 对弧长的曲线积分的性质 性质1设c1、c2为常数则 L[c1f(x,y)c2g(x,y)]dsc1Lf(x,y)dsc2Lg(x,y)ds 性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2则 Lf(x,y)dsLf(x,y)dsL1f(x,y)ds 2 性质3设在L上f(xy)g(xy)则 特别地有
7、Lf(x,y)dsLg(x,y)dsLf(x,y)ds
8、L
9、f(x,y)
10、ds 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L的线密度为f(xy)
11、则曲线形构件L的质量为 Lf(x,y)ds x(t)y(t)(t) 另一方面若曲线L的参数方程为则质量元素为 f(x,y)dsf[(t),(t)]曲线的质量为 即 2(t)2(t)dt f[(t),(t)]2(t)2(t)dt f(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt L 定理设f(xy)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在[]上具有一阶连续导数且2(t)2(t)0则曲线积分在且 应注意的问题定积分的下限一定要小于上限 高等数
12、学课程建设组 Lf(x,y)ds存 Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt(<) 高等数学教案 曲线积分与曲面积分 讨论 (1)若曲线L的方程为y(x)(axb)则提示L的参数方程为xxy(x)(axb) Lf(x,y)ds Lf(x,y)dsf[x,(x)]12(x)dx ab (2)若曲线L的方程
