自控原理第三章————

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1、§3－4高阶系统分析一、高阶系统的二阶近似方法：实际的系统都是高阶系统，为使问题简化，并将分析二阶系统的方法应用到高阶系统中，采用寻找系统闭环传递函数的一对闭环主导极点，对系统进行近似分析。高阶系统微分方程的一般表达式为：设初始值均为0，经过拉氏变化，得系统得闭环传递函数为：系统的极点和零点可以是实数，也可以是共轭复数。如果系统的所有闭环极点各不相同，且都分布在s平面的左半部，则系统的单位阶跃响应的拉氏变换式为：则系统的单位阶跃响应为：如果系统的所有闭环极点既有实数又有共轭负数，则系统的单位阶跃响应的拉氏变换式为：则系统的单位阶跃响应为：上式表明，高阶系统的单

2、位阶跃响应由稳态值和一系列衰减指数曲线及衰减振荡指数曲线组成。各衰减项在响应过程中所起作用的大小取决于它们的指数si,ξKωK值和幅值Ai、Bk、Ck的大小。衰减项中某项的指数越大，那么它就衰减的越快，而指数si,ξKωK分别是系统的负实根和复根的负实部，其数值的大小表示了该极点在左半平面上离虚轴的距离，离的越远，它对应的指数衰减的越快，对系统响应过程的影响越小，故那些离虚轴越近的极点，对系统的响应过程影响越大。幅值Ai、Bk、Ck与系统的极点和零点都有关系，当极点离虚轴越远，对应的幅值也越小影响也越小。当零点和极点靠的很近时，对应的幅值也很小，产生了对消，这

3、一对零、极点对响应过程的影响就很小了。结论：高阶系统的响应特性，是由系统传递函数中那些靠近虚轴而又远离零点的极点来决定的。如果系统有一个极点（或一对复极点）离虚轴很近（且附近无零点存在），而其他所有极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴距离的五倍以上，则可以近似认为，系统的动态特性由这个极点来确定，其它极点的影响可忽略不计。这个（这对）极点就称为高阶系统的主导极点。一般主导极点是一对复极点，因此高阶系统就可以用这对主导极点所构成的二阶系统来近似。主导极点的条件：离虚轴很近；附近无零点；其他极点远离该极点。高阶系统的分析方法：近似法；间接法（根轨迹、频率法）。偶极子:

4、如果一对零极点距离很近，则在估算系统性能时该零点可以抵消掉极点所对应的瞬态响应。§3－5稳定性及代数判据一、稳定性的概念以钟摆为例来进行说明：abdc分析摆的运动规律：a：稳定平衡点d：不稳定平衡点二、稳定性的定义和数学条件如果控制系统在初始条件的影响下，其响应过程随时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称这样的系统具有渐近稳定性，简称具有稳定性。反之，则称这样的系统不稳定。三.稳定的充要条件设系统的闭环传递函数为:由于系统的初始条件为零,当输入一个理想的单位脉冲δ(t)时,则系统的输出便是单位脉冲过渡函数k(t),如果,则系统稳定。若是线性系统特征方程的根,且互不

5、相等,则式中则通过拉式变换,求出系统的单位脉冲过渡函数为欲满足,则必须各个分量都趋于零。式中为常数,即只有当系统的全部特征根都具有负实部才满足。稳定的充要条件是:系统特征方程的全部根都具有负实部,或者闭环传递函数的全部极点均在s平面的虚轴之左。特征方程有重根时,上述充要条件完全适用。三、劳思稳定判据方法：对于高阶系统，可以将特征方程的系数排列成劳思表，然后进行逐项计算，并利用劳思判据来判断系统的稳定性。若系统的特征方程为：a0sn+s1sn-1+…..an-1s+an=0(a0>0)劳思表中各项系数如下表所列，则系统稳定的充分必要条件是：劳思表中第一列所有元

6、素的计算值均大于零。如果第一列中出现小于零的元素，则系统就不稳定，且该列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实根的数目。sna0a2a4a6…Sn-1a1a3a5a7…Sn-2C43…Sn-3C44…Sn-4C45……S2S1s0……C1,n-1C1,nC1,n+1=an……C2,n-1…………解：列出系统的劳思表如下：s62367s55414s47/52/57s318/7-11s2115/187s1－1589/115s07eg3－7已知某一控制系统的微分方程如下所示，试判断系统的稳定性。2s6+5s5+3s4+4s3+6s2+14s＋7＝0由于系统的劳思表

7、第一列出现了负数，所以系统不稳定，且第一列变号两次，因此系统有两个位于右半复平面的根。例：已知某单位反馈系统，其开环零极点如下图示，问：闭环系统是否可以稳定？确定开环增益的范围。解：依题，系统结构图为：并且有：列劳斯表：4、劳思稳定判据的特殊情况（1）劳思表中某一行出现0，而其他各项不为零或不全为零，则可以用一个很小的正数ε代替它，而继续计算其余各元。例如：D1(s)=s3－3s+5=0S31-3S20(ε)5S1－3－5/εs05因为劳思表第一列出现负数，说明系统不稳定，且有两个位于s右半平面的根。den=[10–35];roots(den)-2.27901

8、.1395+0.9463i1.1395