高一数学竞赛练习题(2)

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1、高一数学竞赛练习题（二）一、选择题1.已知集合，，则＝（　　　）A.  B.C.　D.解：. 从而可得　。应选Ｄ。2.当时，下面四个函数中最大的是（　　　）。A.  B.   C.   D.解：因为，所以。于是有　，。又因为，即，所以有　。因此，最大。应选　Ｃ。3.设非常值函数是一个偶函数，它的函数图像关于直线对称，则该函数是　（　　　　）A.非周期函数B.周期为的周期函数C.周期为的周期函数D.周期为的周期函数解：因为偶函数关于ｙ轴对称，而函数图像关于直线对称，则，即。故该函数是周期为的周期函数。应选Ｃ。4.如果，则使的的取值范围为（　　）A.  　　B. 　　C. 　　  D.4解：

2、显然，且。。要使。当时，，即；当时，，此时无解。由此可得，使的的取值范围为。　　　应选Ｂ。5.设，则（　　　）A.１　　B.　２　　Ｃ.　３ 　　D.　４解：　作图比较容易得到　。　　应选Ｂ。二、填空题6.已知平面上不共线的四点O,A,B,C。若，则　　　。解：因为，所以。于是有　。因此。答案为：２。7.方程的解集合为　　　　　　　。解：　当时，，（取到等号）。而，（取到等号）。于是有　当时，方程只有一个解。由于奇函数的性质，可知是方程的另一解。故方程的解集合为。8.今天是星期天，再过天后是星期　　　。4解：其中均为正整数。　因此答案为　　星期六。　9.整数，且，则分别为　　　　　　　　

3、。解：方程两边同乘以８，得。　因为，所以要使左边为奇数，只有，即。则。要使左边为奇数，只有，即。从而有　，即。故有。答案为　。三、解答题10. 设Ｐ，Ｑ为圆周上的两动点，且满足与圆内一定点，使，求过Ｐ和Ｑ的两条切线的交点M的轨迹。解：连接PQ，OM，由圆的切线性质知，且PQ与OM交点E为PQ的中点。设，则，。从而得到E点的坐标为。由于，所以。又，于是有，即有  化简得。上述为以为圆心，为半径的圆周。11.，，求最大值。解：  4       ， 当时，上式可以取到等号。故函数的最大值是。12.设，求证：。证明：因为，所以有。又，故有。于是有得证。 4