数学北师大版一年级下册三角形全等专题复习

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1、北师大版数学教材七年级下册第四章三角形三角形全等专题复习之截长补短法证线段和差问题石室初中（东区）侯静【教学目标】（1）知识与技能理解并掌握截长补短法证线段和差问题，并能运用截长补短法解决一些几何问题.（2）过程与方法培养学生的数学转化思想，化未知为已知，使学生联系所学知识，经历理性分析，构建知识模型，培养学生的几何直观和推理能力.（3）情感态度及价值观通过了解此类问题的一般解题思路，培养学生的数学兴趣，帮助学生克服对数学的畏难情绪.【教学重难点】教学重点理解并初步掌握截长补短法证线段和差问题.教学难点选择合适的截长补短法解决此类型的几何问题.【教学过程】知

2、识回顾1、全等三角形的基本判定方法：SSS、ASA、AAS、SAS等.2、判定三角形全等的基本思路：问题引入例1如图1，已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D.求证：AC=AB+BD.（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和）图1从结论着手分析：AC=AB+BDAC-AB=BDAC=AB+BD把AB、BD、AC转化到同一直线上截长补短在AC上截取点E使得AE=AB1、延长AB到点E使BE=BD2、延长AB到点E使AE=AC构造全等三角形学生用截长法（图2）和补短法（图3）来证明此题.（过程略）图2图3总结：证明一条线段等于另外两条线

3、段之和（差）的常见方法：截长法：在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段.补短法：在一条短线段上的延长线上截取另一条短线段，证明其总长与长线段相等.截长、补短的目的：为三角形全等创造条件.典例分析例2如图4，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点F是AC的中点，过点A作AD⊥BF，垂足为D，延长AD交BC于E，连接EF，求证：AE+EF=BF.图4证法1：截长法师分析：（1）在线段BF上，截一线段等于AE，再证另一线段等于EF；（2）截长是为三角形全等创造条件。由直角三角形斜边上的高的基本图形可得∠1=∠2，且AB=

4、AC，已知一组边、一组角分别相等，选择△CAE从边着手，还需要什么条件构造全等三角形？生回答：如图5，在BF上截取BG=AE，就可得△ABG≌△CAE，由全等可知AG=CE，∠BAG=∠C=45°=∠GAF，易证△GAF≌△ECF，GF=EF，于是有AE+EF=BF.图5评析：本题的解法自然流畅，得益于一些基本技能、基本经验和分析法.基本经验让学生从基本图形中发现一组等角∠ABG=∠CAE；基本技能是截长法让学生知道需要构建全等三角形；分析法使学生知道在BF上截取BG=AE.建立已知条件与相关知识的联系，让学生明确已具备什么条件，还需要什么条件.证法2：补短

5、法师分析：从边着手，由已知AB=AC，∠1=∠2，想到选定△ABF，构造角的另一边相等，即构造∠2的一边等于BF，怎么构造这条边呢？生回答：如图6.方法1：延长AE至点M，使AM=BF，易证△ABF≌△CAM，进而证△ECF≌△ECM，EF=EM；方法2：延长AE至点M，使EM=EF，但不能证明△ECF≌△ECM，所以此法行不通.图6评析：为什么方法1成功了，而方法2行不通呢？方法1从条件AB=AC、∠ABF=∠CAE出发，联想到“SAS”判定，缺什么补什么，由此可证.而方法2尽管构建了EF=EM，但不是因需而建，不能证明△ECF与△ECM全等.所以解法自然

6、生成需要寻找已知条件与解法依据的有机联系，找出所缺条件.巩固练习练习1如图9，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是底边BC上任意一点.DE⊥AC，DF⊥AB，BG是腰AC上的高.证明：BG=DE+DF.图7练习2如图10，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.试证：MN=BM+NC.图8课堂小结运用截长补短法应注意：（1）联系：将题中的条件、重要信息与学过的基础知识、基本技能、基本方法联系起来；（2）分析：一个思路的形成，可以从结论出发，采用分

7、析法——“要证什么推出需要证什么”，进过几轮的“要证，需要证”，把问题落实到一个具体的已知条件，合情合理推出结论.（3）构建：联系、分析是解法的想象、探究过程，要把解法表达出来，还需将联系、分析所相关模型构建出来.