2019高数(上)前三章知识点总结

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1、高数(上)前三章知识点总结　　第一章　　函数与极限　　第一节映射与函数　　一、集合　　1、集合概念　　通常用大写拉丁字母A、B、C……表示集合，用小写拉丁字母a、　　b、c……表示元素。　　含有有限个元素的集合为有限集，不是有限集的集合成为无限集。表示集合的方法通常有列举法和描述法。　　习惯上，全体非负整数即自然数的集合记作N，全体正整数的集合为N，全体整数的集合记作Z，全体有理数的集合记作Q，全体实数的集合记作R。　　设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B　　的子集，记作AB或BA。如果AB且BA，则称集合A与集合B相等，记作AB。若AB且AB，则称A是B的

2、真子集，记作AB不含任何元素的集合成为空集。2、集合的运算　　集合的基本运算有并、交、差。　　AB={x/xA或xb}　　AB={x/xA且xB}　　A\B={x/xA且xB}　　若集合I为全集或基本集，称I/A为A的余集或补集，记作AC集合的并、交、余运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律。3、区间和邻域　　开区间、闭区间、半开区间都称为有限区间，此外还有无限区间。以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U。　　点a的邻域记作U(a，)，点a称为这邻域的中心，称为这邻　　域的半径。　　点a的去心邻域记作UO(a，)。　　二、映射1、映射概念　　映射定义：设X、Y是两个非空集合，

3、如果存在一个法则f，使得对X中每　　个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：XY设f是从集合X到Y上的映射，若Rf=Y，则称f为X到Y上的映射或满射；　　若对X中任意两个不同元素的像不相等，则称f为X到Y上的单射；若映　　射f既是单射又是满射，则称f为一一映射或双射。　　2、逆映射与复合映射　　只有单射才存在逆映射　　若g：XY1，f：Y2Z，则这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作fg即fg：XZ。三、函数1、函数概念　　设数集DR，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为　　y=f(x)，xD　　其中x称为自变量，y称为因变量

4、，D称为定义域，记作Df，即Df=D　　构成函数的要素是定义域和对应法则。　　函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函　　数，另一种是对抽象地用算式表达的函数。　　表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法。2、函数的几种特性函数的有界性函数的单调性　　单调增加和单调减少的函数统称为单调函数函数的周期性　　对于函数f(x)的定义域为D，若存在正数l，使得　　f(x+l)=f(x)　　恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。L一般指最小正周期。函数的奇偶性　　　　设函数f的定义域关于原点对称。　　若对于任一xD，f(-x)=f(x)恒成立，则称f(

5、x)为偶函数；若对于任一xD，f(-x)=-f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数。偶函数的图形关于y轴是对称的。奇函数的图形关于原点是对称的。3、反函数与复合函数　　对于函数f来说，y=f1(x)为其反函数，f(x)称为直接函数。直接函　　数与反函数的图形关于直线y=x是对称的。　　设函数y=f(u)的定义域为Df，函数u=g(x)的定义域为Dg，且其值域　　RgDf，则下式确定的函数　　Y=f【g(x)】，xD　　称为函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数，变量u极为中间变　　量。　　4、函数的运算5、初等函数　　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统

6、　　称为基本初等函数。　　有常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合　　步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。　　第二节数列的极限　　一、二、　　数列极限的定义收敛数列的性质　　定理一如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一。定理二如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。定理三如果数列{xn}存在极限且极限大于零，那么存在正整数N0，当nN时，都有xn0　　定理四如果数列{xn}收敛于a，那么它的　　任一子数列也收敛，且极限也是a　　第三节函数的极限　　一、函数极限的定义　　1、自变量趋于有限值时函数的极限2、自变量趋于无穷大时函数的极限　　二、函数极

7、限的性质　　定理一如果函数存在极限，那么这极限唯一。　　定理二如果函数的极限为a，那么存在常数M0和　　0，使得当0xx0时，有f(x)M。　　定理三定理四　　第四节无穷小与无穷大　　一、无穷小的定义二、无穷大的定义　　三、若函数f(x)为无穷大，则　　1为无穷小；f(x)1为无穷大。f(x)若函数f(x)为无穷小，则　　第五节极限运算法则　　定理1有限个无穷小的和也是无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1常数与无穷小的乘积是无穷小推