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《立体几何证明求值知识网络及例析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、立体几何证明求值知识网络及例析贯穿本章的两大证明定义步线ifiiallh1>=>方丄aq丄qJ（转移）步线线：①线面垂直性质②二垂线左理③等腰二角形三线合一④勾股定理（以算代证）等面而平行性质/定义面面平行性质平行：面面A线面■——线线：①屮位线②平行四边形③垂直于同一个平而④而面平行性质等a丄a]d丄0Jmall卩其它常见的定理及结论：①两个“有且只有”②最小角定理③等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.④异面直线判定定理等.附注：①水平方向的箭头为首选方法②若易建立空间直角坐
2、标系，每一个也可用空间向量法.贯穿本章的两大计算：（步骤：作证指求特点：一般都归结到一个三角形中求解）{•线线•相交直线转移（转化为另一条直线或面）（平行于已知直线或面）线V2A找射影（作垂线段）（面面垂直性质）只求不作（转化为求点面距离f等积法）二面角：作法：①三垂线定理法②定义法③垂面法求法：④射影面积法⑤只求不作（转化为求两个距离）/线线A作公垂线段附注：①水平方向的箭头为首选方法②若易建立空间直角坐标系，每一个也可用空间向量法.MA..BC⑵BF:.cos"BE=——PB=』®.・・・AC与所成的角为arccos.(
3、2)方法二：如图(3)，取AB,BC,P4的中点分另U为E,F,G,连结EF,EG,FG则EF//4C,EG//PB・•・ZGEF或其补角是AC与PB所成的角.可知4C=CB=41.PB=V5/.EF=—,EG=—22连结AF,可知AG丄AF=^-9：.GF=—222yeg2^ef2-gf2Vio•••cosZGEF==2EGEF5⑶AC与PB所成的角为arccos例题:如图，已知四棱锥P-ABCD^J底面为直角梯形,AB//DC,PZDAB=90%PA丄底面ABCD,且PA=AD=DC=»B=1,M是PB的中点.⑴证明：面
4、PAD丄面PCD;⑵求AC与所成的角；(3)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.解：⑴•・•PA丄ABCD,CD丄AD,:.由三垂线定理得CD丄PD.因而CD与PAD内两条相交直^AD.PD都垂直.・・・CD丄面PAD又CDu面PCD,:.面PAD丄面PCD.(2)方法一：如图(2)，过点B作BE//AC.VBE=CA,・•・ZPBE是AC与所成的角•连结4E.可知4C=CB=BE=AE=近亦B=2,・・・四边J^ACBE为正方形.由PA丄ffiABCD,得ZPEB=90°.在RtPEB中,BE=迥,PB=xB,(3)方
5、法一：如图(2),作AN丄CM,垂足为N,连结〃N・在RtPAB中,AM=MB,又AC=CB,・・・AMC竺ABMC・・•・BN丄CM•故ZAN〃为所求二面角的平面角.•••CB丄AC,由三垂线定理得CB丄PC•在皿APCB中,CM丄MB,:.CM=AM.在等腰三角形AMC,AN・MC=JcWi竽）2・AC,・・・AN=£,AB=2,2?cosZAN—「・・所求二面角的大小为_3心暫(3)方法二如图(2)，作如V丄CM,垂足为N・••CB丄AC,由三垂线定理得CB丄PC•在妣APCB中,CM丄MB,:.CM=AM.在等腰
6、三角J^AMC.AN・MC=Jcm2_(^)2・AC,・・・AN=备设A到面BMC的距离为他・・・VA_HMC=VM_ABCMfMC••§方=§Saa〃c㊁§SmmC方=§S山BC㊁・・.h吕・・.sin0=昌=当(&为所求二面角的平面角的补角)V6AN3.・.所求二面角的大小为n-arcsin—3点评：求两条界面直线所成的角基本思路就是平移成两条相交直线，常川的平移手段就是构造屮位线或平行四边形；求二而角的人小基木思路是作出二面角的平而角，人题中常用的作法为三垂线定理法和定义法，另一种思路就是只求不作，转化为求两个距离，进
7、而用等积法.
