资源描述：
《理论力学中混沌内容的讲授》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第23卷第8期2004年8月大学物理COLLEGEPHYSICSVol.23No.8Aug.2004；教学研究s^/X/X/M/X/XzQC/K/X/X/K/K^C/K^编者按当前，在国内外物理专业本科的理论力学教学中，介绍非线性力学和混沌，已经成为一种趋勞.国内不少高校已经开始这样做了•但是，怎样安排教学，讲授哪些内容，用怎样的讲法，占用多少时数，这些问題还都在探索之中.本期发表清华大学安宇同志的文章，介绍美国康奈尔大学的做法和他自己的体会，供大家参考'理论力学中混沌内容的讲授(VI安宇（清华大学物理系，北京10
2、0084）摘要：介绍一种在理论力学教学中讲授非线性混沌的方法•这个方法的待点是混沌内容与理论力学内容不脱节，只占用6〜8学时，但可以把混沌动力学的最基本槪念在理论力学框架内讲清楚.关键词：混沌；Poincare截面；分形中图分类号：O31;O415.5文雜标识码：A文章编号：1000-0712（2004）08-0003-10收積日期：2003-09-19作者简介：安宇（1962-）,男（朝鲜族），吉林省吉林市人，清华大学物理系副教授.博士，1996年赴美国Brookhaven国家实验室研修，现主要从事声空化研究.最
3、近这几年，在美国各高校物理专业本科理论力学课上讲授非线性混沌的内容已成为一种趋势.在南宁举办的2003国家物理学基地力学、理论力学青年骨干教师暑期培训班与研讨班上，许多教师也认为有必要在理论力学课上介绍混沌动力学的基本概念•吉林大学王克协教授几年来坚持在理论力学课教学中讲授非线性混沌内容•但如何用有限的学时，把非线性混沌的内容讲清楚，同时又保证这些内容与理论力学内容保持连贯，则非容易的事情•而借鉴他人的方法不失为一种良策，本文将结合自己的体会具体介绍在康奈尔大学物理系试用的一种讲法⑴.将混沌动力学的内容安排在微振动
4、和哈密顿力学之后，则学生在进入混沌动力学这一章节时已经有了多自由度线性振动和相图的概念，学过刘维尔定理，简要讨论过可积系统，等等•大体内容分为保守系和耗散系•保守系混沌是以双摆为例，通过Poincare截面的方法，讨论系统如何从规则运动向混沌的转化以及混沌从局域向全局的扩散，过程中介绍绕数的概念和KAM定理.耗散系混沌是以受迫单摆为例，介绍吸引子丄yapunov指数、倍周期分叉和Feigenbaum常数，通过讨论奇怪吸引子和它的特殊几何结构，引入分形的概念•这样完全利用力学例子，不用过多的数学，从理论力学的角度就能
5、把混沌的基本概念讲清楚.1保守系的混沌保守系的哈密顿量守恒，所以混沌只能发生在自由度大于1的系统•双摆是很好的例子（见图1）,它在小角度运动时是2自由度微振动，但随着系统能量的提高，微振动逐渐变成不可预测的摆动，最终图11.1双摆为简单，设加1-m2-m,1、=Z2=Z,改变时间标度—胃,选择广义坐标仇，。2,对应的广义动量为pg・利用哈密顿方程很容易得到无量纲化的运动方程：；,H宀A-(1+oos02)p2S-矿2pi=一訪=一2sin4—sin(&i+Q)•
6、——23-cos2久b、=咼=一《(久+d)Pn+■■2sin20X-2(1+oo5+(3+2co6仏)戻(3-oos20>)"体系的总能量为E=H=—2cos0{—cos(0x+0?)+(1)(3)统就不能长期预，因为系统初值不能精确给定，总p；-2(1+cos0：)pip2+(3+2cos02)P；(a)020406080100120140160180200t(b)相空间是4维的•由于哈密顿量守恒，相轨迹是在4・D相空间的3-D“能量壳"内.当小角度振动时，相轨迹实际是在拓扑2・D环面上•观察相轨迹并非易事.P
7、oincare建议用闪频观察方法，如A>0时，在们=0的截面记录相轨迹穿过该截面时的化值,这实际是2・D坐标下的相点•这个截面就是Poincare截面.1.2.1双摆的Poincare載面对于双摆，初始条件为/(o)=-0l(o),dI(o)=r,(0)-02(0)-0-3-cos202其中：•Pi=—=(3+2cofi02)Ot+(1+cos02)^23L••==(1+COS$)0]+0>给定初值0,(0),外(0),乞(0)J,(0),则根据式(3),p,(O),p2(O)给定，同时由式(2),能量E给定,方程
8、(1)可以通过数值计算解得•很明显■当能量低时系统是微振动，此时近似解可以解析表达.让我们观察当摆动角度比较大的情况，如，假设初值为列(0)=-久(0)0(0)=50。,A(02^(0)=0->p,(0)=p2(0)=0,计算这个情况；然后假设初值有一点扰动0、(0)=50.001再进行计算•比较两种情况在经过一段时间以后的差界，如计算込=I0,(50°)
