课堂新坐标2016_2017学年高中数学第4章定积分章末分层突破学案北师大版选修2

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1、【课堂新坐标12016-2017学年高中数学第4章定积分章末分层突破学案北师大版选修2-2IN固层•知识整台定积分的概念微积分基本定理一定积分的应用一［自我校对］①面积、路程②做功③牛顿■莱布尼茨④面积⑤体积主题1

2、提升层•能力强化、定积分的计算1.利用定义求定积分.步骤：⑴分割区间；⑵求过剩估计值、不足估计值；（3）取极限.2.利用定积分的几何意义求定积分.3.利用微积分基本定理求定积分.若尸（x）=f（x）,力dx=“—F3求下列定积分.（1）jxdx【精彩点拨】（1）可用定积分的儿何意义求解;(2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解.【规范解答】其面积为gx“

3、X22=2兀,[再练一题]1.计算下列定积分.⑴j](x+1)dx；Cji(2)~(cosx+2")dx.jiJ—2【解]⑴•••jvWnr妇卅-士卜94=[Inx—ln{x+1)]1=7/7—JIJI兀1—=2+话(22—22).主题2定积分在儿何中的应用1.由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用.求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解.2•利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积.如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.汁算由曲线y=f(x),直线x=&,x=b及;r轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积为K=广［f(Q

4、］滋求由曲线y=x+4与直线y=5”x=0,x=4所围成的平面图形的面积.【精彩点拨】画出草图求交点坐标确定被积函数及积分上、下限求定积分【规范解答】画岀草图,所求平面图形为图中阴影部分.y=x+4,解方程组得交点水1，5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=『｛x+4—5方dx+dx1,5,52135.119=3+4-2+2X4-3X4-4X4-2+3+4=T［再练一题］1.求曲线y=sinx,［0,兀］与/轴所围成平面图形绕;r轴旋转一周所得到旋转体的体积•【导学号：94210078］【解】由体积公式V=rnydx=「H(sinx)^dx0TTsirT久dx二it

5、o厂771一cos2xi;d%02r(J0.7Tlek-/7T-宀sin2x2打、X0丿7T2知-0)T*主题3数形结合思想的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的儿何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积.在做题前首先要画出图形，确定图形是在x轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限.如图4・1所示，在区间［0,1］上给定曲线y=/,试在此区间内确定广的值,使图中阴影部分的面积$与和最小.【精彩点拨】确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值.【规范解答】S的面积等于边长分别为十与产的矩形面积去掉曲线与/轴，直线x=

6、t围成的面积.1.即S=t•Clxdx=〒F；丿0S的面积等于曲线尸/与*轴，x=t,x=l围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为孑，1一力,91即$=jb心—#仃—"=§尸—产+§・所以阴影部分面积41S=S+$=§F—#+§(0W广Wl).令S'（乃）=4#_2广=4右_月=0,得广=0或Z=*,易知当片*时，S最小，所以最小值为（£）=+［再练一题］1.（2016・潍坊高二检测）如图4-2,直线y=&无分抛物线#与无轴所围图形为面积相等的两部分，求W的值.【解】抛物线y=%—*与以轴交点的横坐标分别为山=0,匕=1,所以抛物线与才轴所圉成图形的面积为S=f1{x~

7、x)dx=1_丄_丄2_3=6*抛物线y=x—x与直线y=kx交点的横坐标分别为孟'=0,卅=1一&,所以寸=『匕一滋）％=（—^―#—寸=&（1一"，又知s=石，所以（1—妙;=*,］西展层二链接高考、1.(2014・陕西高考)定积分y1(2^+e)dx的值为()A.e+2B.e+1C

8、丿0f{x)dx,【答案】B3.(2014•湖北高考)若函数满足必=°'则称f3,g3为区间［―1，1］上的一组正交函数.给出三组函数：①f(*)=S力*¥,g{x)=COS^X;②f(“)=x+l9=X—1；③fg=x,g{x)=X.其屮为区间［—1,1］上的正交函数的组数是A.0B.1C.2D.3【解析】N.I11=

9、sin^xcos^xdx=—>sinxdx-i=0,故笫①组是区间［-1,1］±的正交函数;②『f(x)g(x)dx=(x+1)(%-1)dx=f(%—1)dx=丿-】=故第②组不是区间［一1,1