第二十三届2012年希望杯数学竞赛试题-高二第二试(含答

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1、第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试2012年4月8日上午9：00至11：00得分一、选择题（每小题4分，共40分。）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。1.已知集合，，则中的元素个数是（）2.方程的实根的个数是（）3.命题不经过第一象限的图象所对应的函数一定不是幂函数，命题函数的单调递增区间是，则下列命题中，真命题是（）4.设是正实数，则对于每个实数，抛物线的顶点在平面内组成的图形是（）一条直线一条抛物线一条抛物线的一部分而不是全部双曲线的一支5.Themin

2、imumvalueofthefunctionis（）6.若对于任意实数，都有恒成立，则的取值范围是（）7.已知数列的通项公式为，则数列（）有最大项，没有最小项有最小项，没有最大项既有最大项又有最小项既没有最大项也没有最小项8.已知函数，则的最小正周期是（）1.双曲线在点处的切线方程是（）2.已知向量，则向量与的夹角的取值范围是（）一、填空题（每小题4分，共40分）3.函数的定义域是4.三角式的值等于5.已知数列中，，记数列的前项的乘积为，则6.Howmanypositiverootsdoestheequationhave?

3、7.不等式的解集是8.已知向量是三个具有公共起点的非零向量，且又，则当时，向量与的夹角是9.若数列满足条件，则该数列的通项公式10.已知点是所在平面内的一点，且满足，那么三条边长之积的最大值是1.如图1，正方体中，，平面与平面成角，平面与平面成角，如果正方体的棱长为1，那么几何体的体积等于2.已知是抛物线上的两个动点，且，则当的中点到轴的距离最短时，点的横坐标是一、解答题每题都要写出推算过程21.（本题满分10分）解不等式22.（本题满分15分）已知正三棱锥底面的一个顶点与它所对的侧面的重心的距离为4，求此正三棱锥的体积的

4、最大值。23.（本题满分15分）椭圆在第一象限内的一段弧记为，点在弧上，如图2.（1）用表示椭圆在点处的切线的单位向量，方向是依椭圆的逆时针走向，求向量的解析式；（2）令函数，写出函数的解析式；（3）求函数的最大值及取得最大值时的点的坐标，并确定函数的值域。