二项式系数的性质（1）

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1、“杨辉三角与二项式系数的性质”教学设计佛山三中冯敏仪一、教学目标：1、知识与能力目标：①了解杨辉及杨辉三角；初步认识杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力。②理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；③理解和初步掌握赋值法。2、德育目标：培养学生爱国主义精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。二、教学重点、难点：二项式系数的性质、赋值法。三、教学过程：（一）复习：二项式定理，二项展开式的通项，二项式系数，项的系数。（二）新课讲解：师：（提出问题）问题1：(a+b)

2、13的展开式中二项式系数最大的项是第几项？学生思考……师：n=13时展开式的二项式系数太多，能否先观察n=1，2，3．．．时的二项式系数，找找规律？（引导学生进行归纳推理）展开式的二项式系数，当依次取…时，如下表所示：…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………1…………………1……………………………………………………………………5师：因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角二项式系数表（杨辉三角）。杨辉，我国南宋末

3、年数学家，数学教育家．著作甚多。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（BlaisePascal,1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。（让学生了解数学家杨辉及其成就,

4、增强民族自豪感。）师：请大家观察，在杨辉三角中，各行二项式系数的数量关系中有什么共同的规律。生1：左右对称。生2：前半部分递增，后半部分递减。生3：n取偶数时，中间一项的系数最大，n取奇数时，中间两项的系数最大。师：非常好。大家已经归纳出了二项式系数的三个性质，现在我们来一起证明它们。性质1对称性：与首末两端“等距离的两个二项式系数相等”，即（此式由组合数性质得出）性质2增减性：师：如何比较出二项式系数前后项的大小？生：作差或作商。师：现在请同学们在练习本写出证明过程。（请一位同学在黑板书写，并点评）方法1（作差法）：＞0∴当n

5、+1-2r＞0，即r＜时，＞0，此时二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小。方法2（作商法）：＞05∴当＞1，即r＜时，＞1，此时二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小。性质3最大值：由增减性和对称性，易得当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值。师：现在回到问题1，同学们能回答吗？生：展开式共14项，中间的第7和第8项的二项式系数最大。（学生迅速回答）师：（变式1）(1+x)12的展开式中系数最大的项是第几项？生：此时系数与二项式系数相等，展开式共13项，中间的第7项的系数最

6、大。师：（变式2）(1-x)13的展开式中系数最小的项是第几项？生：此时展开式共14项，奇数项系数为正，偶数项系数为负，中间的第7、8项的二项式系数最大，所以第8项的系数最小。师：二项式系数还有其他的性质吗？请看下面问题（问题2）：一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（）(A)20(B)219（C）220(D)220－1生1：由分步原理，完成这件事共分20步（即分别判断20个灯泡的好坏），每步各有2种选择，共220种可能，其中20个灯泡都是

7、好时，彩灯会亮，应排除，所以应选D。师：很好，对分步原理理解得不错。还有其它方法吗？生2：由分类原理，导致彩灯不亮的可能有20类：⑴其中1个灯泡坏了，有种不同可能；⑵其中2个灯泡坏了，有种不同可能；⑶其中3个灯泡坏了，有种不同可能；…⒇其中20个灯泡坏了，有种不同可能，总可能性有种，但具体结果运算起来比较麻烦。师：有什么方法能减少运算量呢？学生思考……5师：刚才大家在杨辉三角中发现了许多规律，上面组合数的求和方法，能否也在杨辉三角中找到？学生开始观察，找规律。生：当n=1时，+=；n=2时，++=4=；n=3时，+++=8=，由

8、此，猜测+++…++…+=师：非常好，你已经猜出了二项式系数的另一个性质，那就是性质4各二项式系数和+++…++…+=证明方法有：数学归纳法，赋值法等（重点介绍赋值法）在展开式中，令，则+++…++…+=则．师：在的展开式中，假如令，又会得到什么结论呢？（教学意