第七章-能带课后习题答案

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1、例题7.1布洛慧定理的证明对三维点阵证明布洛赫定理.［证明］对布喇菲点阵的平移矢量R我们定义平移算符弘，当它作用在任何一个函数几尸)上时使『平移一个驸(问(网(1)由于哈密顿量H的周期性，有TrHi//=H(r+R)i//(r+R)=H(r)i//(r+R)=HTRl//(2)于是有TrH=HTr(3)此外，连续两次应用平移算符，共结果与先后顺序无关，即对任何屮⑴有TrTrW)=TR.TRi//(r)=v(r+R+R‘)⑷故有TrrTr.Tr=Tr+r,式⑶表明H和TR(对所有R)是对易算符，它们应有共同本

2、征函数％即Hl//=£1//由于条件式(5),平移算符的木征值c(R)是有一定关系的,丁心屮二c(R)Tr申=c(R)c(R、i//而按照式(5),有Tr、Tr屮—兀+R‘0—c(7?+F)0故C的本征值必须满足(9)c(R+R‘)=c(R)c(R‘)用久(6=1,2,3)表布喇菲点阵的三个基矢,我们总可以适当选择兀浴使c(

3、3(11)(12)(13)bi是是倒易点阵基矢，b「-2兀0o出上述可见，我们可以适当选择H的本征函数屮，使(14)Tri//=0(厂+R)=c(R)y/=eikRi//而这正是布洛赫定理的形式(7・1)・7.2克朗尼格■朋奈(Kronig—Penney)模型按照克朗尼格一朋奈提出的周期势场模型，晶体中的周期势由一系列方势阱组成(图7.10),势阱宽度为°,势垒宽度为b,势垒高度为£/。讨论电子的能带。［解］在0SS的区内，电子势能C/=0,薛定谭方程为2mdx"鸭是向右和向左进行的行波的线性组合,U(Qj

4、uunuu图7.10方影势阱0=AeiICx+B严能量为h2K22m在・5＜工＜0,势能为S，薛定涔方程为2mdx2解得形式为屮=CeQx+De'Qx(5)Uo-£=h2Q2/2m系数A、B、C、D的选取必须使肖和d屮/dx在x=0和x=a处连续.由在x=0处连续得到A+B=C+D(7)IKA-iKjB=QC-QD(8)由布洛赫定理得到，x在a〜a+b间的波函数是・b〜0间的波函数乘以位相因子d如切,这里k是布洛赫波的波矢.于是由肖在x=a处连续得到AeiKa+B严=(CeQa+DeQa)eik{a+b)(

5、9)iKA严—iKBeiKa=(qc0_QDeQa)/(讪(10)要/、B、C、D有非零解，要求系数行列式为零.由此解得[(Q2-K2)/20K]sinhQhsinGKa+coshQhcosGKa=cos+b)(11)由于k是实数,-1

6、nKq+cosKa=cosKaKq利用式(12)可以确定电子的能量.先画出Pf(Ka)=(——)sinKa+cosKaKa作为Kd的函数的曲线.出于COSKQ。介于・1和+1之间，可以由此确定满足此条件的K值.由式(3)可以求出能量£,图7.11画出了P=3兀/2时许可的Ka值，找出其相应的纵坐标cosKa,由此算出与每个£对应的k值，就得到图7・12的£(切)函数曲线.我们看到在布里渊区边界处山现能隙.7.11函敷+灼制形，P=3%/2・粗线画出许可的Ka^5C511■k2x3兀"•ka图7.12p=3兀

7、/2时，克朗尼格■朋奈核型中能昼和波矢的关乐7.3—维点阵布里渊区边界附近的近似解(町证明周期为a的一维点阵中自由电子波函效在布里渊区边界上是简并的.(b)考虑弱周期势的微扰，证明一级近似下布里渊区边界G/2处的能量间隙为2〃g。这里Ug是势的博里叶分量系数，G是一维倒易点阵矢量.(c)证明在布里渊区边界附近，弱微扰后的能带£&)对R有抛物线关系，这里R是从区边界(G/2)算起的波矢。［证明］(a)考虑恰好在布里渊区边界G/2处的波矢，白由电子能量为因而在区边界G/2处，平面波炉土G/2子有相同动能；相应的

8、自由电子波因数为严x/2(a)用式(7・17)可以求岀简并的二能级系统微扰后电子的能量.令K=G/2,由式(7.17)得到(£-£()G)CG=UGC_G77&二叭Cg二叽22由系数行列式为零的条件解得£°g-£=0"空±6疵(少±4在布里渊区边界G/2上，能量有两个根，一个比区边界上自由电子能量高UG9一个比区边界上自由电子能量低Ug・于是弱周期势场的影响是在区边界上造成一个宽度为2Ug。的能隙.由式⑴和式⑵可