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《补形法求解立体几何题(高中数学教与学)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、补形法求解立体几何题从一道高考题谈起竺美月奉化市武岭中学在对2006江四省高考理科第20题进行例题教学时，因为没冇现成的两两相互垂直的三条直线，需要添加辅助线来建立空间直角坐标系，相当一部分同学会感到困难•其实在求解某些立体几何问题时，若能把所求解的几何体补形成特殊的几何体，则可使求解问题的难度大大降低.下面举例说明之，意在强调教师在教学过程中补上“补形法求解立体几何题”一课的重要性，以达到拓宽学生思维的目的.例1（2006江西省高考理科第20题）：如图（1）在三棱锥A-BCD中，侧面磁、ACD是全等的直角三角形，Q是公共人的斜边’心'角，若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由.CD分析
2、：从题口的条件可以得lhAB=AC=BC=42,因此此三棱锥A-BCD的各棱长可以看作棱长为1的正方体的棱长、而对角线和体对角线，能考虑到这个特殊的边长关系，把三棱锥A-BCD的补形成一个正方体（四个顶点放到正方体的顶点上去），如图（2）,借助正方体来建立空间直角坐标系，用向量法来解题，可使求解的难度大大降低.解：由已知得：AB=AC=BC=迥,考虑到三棱锥A-BCD边的特殊性，把三棱锥A-BCD的四个顶点放到正方体的顶点上去，，建立空间直角坐标系B-xyz,如图则A(1,O,1)、8(0,0,0)、C(l,l,0)、£>(0,1,0)(1)AD=(-1,1-1),~BC=(1,1,0)v
3、AD*BC=0,:.AD丄庞即AD丄BC(2)AC=(0,1-1)，设斤=J为面ABC的法向量，则斥丄AC,n}1BC・•・n^AC=0,n^BC=0取必=1,则”=(—1,1,1)设n2=(x2,y2,z2)为面ADC的法向量,则忌丄AC9n2丄ADn9•AC—0,•AD—0y2-z2=0—一兀2+”_z°=0Z2=^2x2=0取y2=l,则n2=(0,1,1)一-、斤•忌2V6c响'心兩=市=丁'即所求二面角—的大小为arcc冲⑶假设存在一点E,使ED与面BCD成30。角，设E(l,y,l-y),则£D=(-l,l-y,y-l)n=(0,0,1)为面BCD的法向量cos(ED,nsin
4、30°y-iJ2y2_4y+3xl此时CE=1例2(2003全国高考题12)如图(3),一个四面体的所有棱长都为血，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为()A.3兀B.4兀C.3迟兀D.6乃分析：此四而体为正四而体，将正四而体补形形成一个止方体，如图(4),则止四面体的棱长为正方体的的面对角线，所以正方体的棱长为1,正四面体体的外接球即为正方体的外接球，而止方体外接球的中心为体对角线的的中点，外接球的直径为体对角线，所以外接球的半径R=—2选⑷例3：（2006湖南高考理9）,棱长为2的止四面体的四个顶点都在同一球面上,若过该球球心的一个截面如图（5）,则图中三角形（正四面体的截面）的面
5、积为（）A.—B.—C.V2D.V322分析:将棱长为2的正四面体补形成一个止方体，如图（6）,则正方体的棱长为血，正四面体的外接球即为正方体的外接球，而正方体外接球的屮心为休对角线的的屮点，BM=CM=厲ABCM在正方体的对角面上，ABCM的BC边上的高即为正方体的棱长S截面=V2,选（C）.例4：如图（7）,三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直,C等距离d的值为（PA=1、PB=PC=4i,则空间一点0到点P、A、B、分析：空间一点0到点P、A、B、C等距离，即点0为三棱锥P-ABC的外接球的球心，所求的距离d为三棱锥P-ABC的外接球的半径，将三棱锥P-ABC补形，使三棱
6、锥P-ABC的四个顶点在长方体的顶点上，则三棱锥P-ABC的外接球的球心即为长方体的外接球的球心，而长方体的外接球的球心为长方体的体对角线的屮点,长方体的外接球的直径为长方体的体对角线，所以三棱锥一BC的外接球的半径R"¥，选例5：如图（8）,点P在正方形ABCD所在的平面外，PD丄面ABCD,PD=AD,C则PA与BD所成介的度数为分析：将四棱锥P-ABCD补形成止方体，如右图，则PA与BD所成角即PA与PM所成角,而△PAM为等边△…••所求角为60°.注：木文发表于《高屮数学教与学》2007年第7期
