塑性成形理论基础2

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1、2.塑性成形的力学基础2.1点的应力状态分析1)基本概念—外力、内力和应力（1）外力变形体所受外力分为体积力和面力两类。面力是作用在变形体表面上的，它包括工模具对变形体的作用力和约束反力等。分析塑性成形过程时，体力一般可以不考虑，若不加特殊说明，外力即指表面力。（2）内力在外力作用下，为保持变形体的连续性，其内部各质点之间必然会产生相互作用的力，叫做内力。变形体受外力系F1、F2、…的作用处于平衡状态。体内有任意点Q，过Q作一法线为N的平面A，将物体切开移去上半部。A面即可看成是下半部的外表面，A面上作用的内力应该与下半部其

2、余外力保持平衡。这样，内力问题就可以转化为外力问题来处理。图2-1外力、内力和应力（3）应力单位面积的内力，称为应力。定义：为Q点的全应力。问题:①如何完整地描述变形体内一点的受力情况也即应力状态呢？②一点的应力状态是标量？矢量？点的应力状态不同于物理量的标量和矢量，它需要用过该点的三个互相垂直截面上的三个应力矢量才能完整地确定。这样的物理量又称为二阶张量。因此，点的应力状态是二阶张量。2）直角坐标系中一点的应力状态围绕直角坐标系一承受任意力系作用物体的任意点Q切取无限小单元体，棱边平行于坐标轴。各微分面应力沿坐标轴分解为三

3、个分量，一个正应力，两个剪应力分量。一点的应力状态需用九个应力分量来描述。图2-2单元体的受力情况a）物体内的单元体b）单元体上的应力状态应力分量符号带有两个下角标，第一个表示该应力分量作用面的方向，第二个表示它的作用方向。两个下角标相同的是正应力分量，例如σxx即表示x面上平行于x轴的正应力分量，简写为σx；两个下角标不同的是剪应力分量，例如τxy即表示x面上平行于y轴的剪应力分量。应力分量正负号规定：单元体外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为负面；对于正面，指向坐标轴正向的应力分量为正，指向负向的为负；负面情况正好相

4、反。椐此，正应力以拉为正，以压为负，而图中各应力分量均为正。单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴合力矩必为零。由此可导出剪应力互等关系式：；；因此，表示点应力状态的九个应力分量中只有六个是独立的，也即点的应力状态是二阶对称张量。应力分量用符号σij（i、j=x、y、z）表示，使下角标i、j分别依次等于x、y、z，即可得到九个应力分量，表示成矩阵形式为：3）主应力和应力张量不变量（1）主应力定义：切应力为零的面为主平面，主平面上作用的应力为主应力。定义：存在着唯一的三个相互垂直的方向，与此三个方向垂直的微分面上剪应力为零，只存在

5、着正应力。此正应力称为主应力，用σ1、σ2、σ3表示，而相应的三个相互垂直的方向称为主方向，与主方向一致的坐标轴叫做应力主轴。已知单元体的应力状态为：与其斜切的任意斜面上的应力分量亦可求出。设该斜面法线为N，N的方向余弦为：；；图2-3斜切微分面上的应力由静力平衡条件、、可得：（2-1）又有：（2-2）（2-3）（2-4）假定图2-3中法线方向余弦为l、m、n的斜切微分面ABC正好就是主平面，面上的剪应力τ=0，则由式（4-4）可得σ=S。于是主应力σ在三个坐标正方向上的投影Sx、Sy、Sz分别为:;;将式（2-1）代入上列诸式

6、，经整理后可得:（2-5）又有：（2-6）式（2-5）存在非零解的条件是方程组的系数所组成的行列式等于零。展开行列式并考虑应力张量的对称性，则得:（2-7）式中：（2-8）（2-7）式称为应力状态特征方程。可以证明，它存在三个实根，即主应力σ1、σ2、σ3。将求得的主应力代入式（2-5）中任意两个方程式，与式（2-6）联解，即可求得该主应力的方向余弦。这样，便可最终求得三个主方向。可以证明，这三个主方向是彼此正交的。于是,一点的应力状态就可写成:（2）应力张量不变量一个确定的应力状态，三个主应力是唯一的。特征方程（2-7）的系数

7、J1、J2、J3是单值的。可见，尽管应力张量各分量会随坐标转动而变化，但式J1、J2、J3值是不变的，称为应力张量第一、第二和第三不变量。判别两个应力张量是否相同，可以通过三个应力张量不变量是否对应相等来确定。问题：既然J1、J2、J3为应力张量不变量，用主应力应如何表示呢？J1=σ1+σ2+σ3J2=-(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1)J3=σ1σ2σ3人们常根据三个主应力的特点来区分各种应力状态。当三个主应力中有两个为零时，称为单向应力状态；如只有一个主应力为零，则称为平面应力状态；若三个主应力都不为零，就叫三向应力状态；三

8、个主应力中有两个相等，称为轴对称应力状态。4）主剪应力和最大剪应力（1）主剪应力定义：剪应力达到极值的平面称为主剪应力平面，其面上作用的剪应力为主剪应力。如图，一对相互垂直的主剪应力平面与某一主平面垂直，而与另两个主平面成45°角。图2-5主剪应力平面需要注意