[训练]我的建模作业---停车场问题1

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1、停车场设计方班级：信息10・2班学号：311011020203姓名：李珂珂摘要绍兴文理学院数模竞赛C题近几年我国居民活水平冇了显著捉高，我校冇越來越多的教师购置了汽车，为了解决停车问题，在图书馆前而造了一个地下车库。车库面积有限，问题是如何利用车库高效地停车,即在保证安全的情况下，尽可能多地停车。为简单起见，我们假设该车库是一个100x100米的正方形，见下图V入口出口教师的车都是标准的轿车2x3米,车的最小转弯半径为4米，试设计一个最佳停车方案（只考虑平面）。1•问题的表述由于近几年我国居民生活水品的提高，我校越来越多的教师购买了轿车,为解决停车问题，我校打算在图

2、书馆前建一个地下车库，因为车库为一个100*100的正方形，见下图：出口入口面积有限，问题是如何利用车库再保证安全的情况下，尽可能多的停车，一下是我们运用数学知识解决一下这个问题，已知教师的车都是标准的轿车2x3米,车的最小转弯半径为4米。2.模型假设和符号说明一.模型假设1)•假设每一辆轿车所占的停车位的面积都是相等的，车主都按规定停车。2).假设每一位车主的驾驶技术都是相当好的。二.符号说明符号符号说明e车辆停放角度转弯半径W「乍位宽度L车位长度Sum车位总数3•问题分析一般情况下，如果想尽可能的把车停在停车场，最有效最大限度利用空间的最好办法是以垂直的方式把车

3、排成行，但是，这样停放吋会造成车辆无法自由出入，那样只有靠近门I」停放的车出去了，里面的车才能离开停车场，很明显这是不符合现实生活中的需求的。所以，为了让汽车自由的出入停车场，必须设置一些具有足够宽度的通道，而且每一个通道都要有足够大的转弯半径，由于停车场的总面积是一定的，所以通道越宽越多，就会使得容纳的车辆数越少。所以我们的主要问题是要确定在能够满足车辆的自由岀入的情况下，怎样进行停车位置和车辆通道的设计，从而能使得停放的车辆最多,以致达到既方便了停车又能获得最大的经济效益。通过对每一个停车位的分析，得到每辆车占拯的停车场面积函数是由车辆所占的停车位面积和通道所占

4、通道面积两部分组成，面积函数可以化为角的一次函数，再对面积函数进行求解，就可以得到车位最佳设计角度。把每一个车位的设计模型拓展开到整个停车场区域，排列得到规划区域的车位设计。由于转弯半径的问题，结合本问题的具体情况，轿车驶入停车场后进入停车位时一般得转弯，而已知教师的车都是标准的轿车2x3米,车的最小转弯半径为4米，即转弯半径Cl=4m,汽车转弯时转向中心到汽车内侧转向车轮轨迹间的最小距离为C2二C1—2二2米,如图1所示。4•模型建立4.1单辆车停车位最佳角度的确定对于每一个车位，为了方便于该车位上的小轿车自由进出，则必须有一条边是靠通道的，设该矩形停车位的长边与

5、通道的夹角为^(0<^<-),其2中0=-便是车辆垂直从通道驶入车位，0=0就是车辆从通道平行驶入车2位。为了留出通道空间和减少停车面积，显然，我们可以假设该通道中的所有车位都保持着和该车位相同的角度平行排列，即每一辆车的情况是相同的，与通道都有共同的夹角0,如图2所示。图.2图2中，小轿车是自右向左行驶顺吋针转弯&角度驶入车位的。我们來具体研究一下小轿车驶入车位的情况，见下图3,其中G为最小传弯半径，R为通道的最小宽度。我们假定小轿车的最外端在半径为C,的圆周上行驶,月.此时轿车的最内端在半径为C2的圆周上随Z移动，然后以0角度进入停车位，所以通道的最小宽度R=C

6、l-C2cos0.图4经实际考察可知，停车场屮标志线的宽度大约为0・1米，所以我们可以假设停车场中停放轿车需要的车位长C产3.3加，宽Cvv=2.8m,这其中包括T0.1米的标志线宽度和至少0.3米的汽车间的横向间距。每辆车均以角度&停放，用W表示小轿车停车位宽度，厶表示小轿车停车位长度，厶表示停车位末端的距离，显然他们分别是停车角&的函数，且w=“sin&L=CLsin0+—Cwcos0厶)=(Cl+yCwcot0)cos0厶=丄Cwcos02图4所示，每辆车占据的停车场面积s(0)・假设该排车位是无限长的,可以忽略该排车位两端停车位浪费掉的面积丄厶•厶，因为它们

7、被平均到每2个车位上去的公摊面积很小，可以不计。从车辆所占的停车位来看，它占据的面积为W•厶，另外，它所占的通道的面积为考虑到通道对面也可以有类似的一排车位可以相互借用此通道，所以可以对占用的通道面积减半，于是：S(0)=W厶+丄W/?二CWCL+os0+GC”/—C'*2_°s&(1)')2L2sin&2sinP2sin&我们的目标就是求出s(0)的最小值。耳各G=4/??,C2=2m,CL=3.3/7?,Cw=2.8m,彳弋人(1)式,可彳导S9i24+誥-常,se)=一1」2+5.6cos0sin20令S'(&)=0,得cos&二0.2,即0〜78.56