3.1.5空间向量运算的坐标表示教案

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1、高二数学教学设计——3.1.5空间向量运算的坐标表示设计人：董永兴教材分析：引入空间直角坐标系，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础。学情分析：学生在必修2中学习了立体几何初步以及在必修4中学习了平面向量的基础上学习空间向量及其运算，并利用空间向量解决立体几何中直线、平面位置关系的问题，本节课由平面向量推广到空间向量这一过程中，应注意维数增加对学生带来的

2、影响，让学生感受数学概念推广可能带来很多更好的性质。教学方法：根据教材的特点和学生的实际情况，本节课采用“启发探究”式的教学方法：从教材内容来看，空间向量的坐标运算无论是结构还是内容都与平面向量相似，因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学，从空间向量的坐标运算问题提出到空间直角坐标系的建立，从向量坐标的确定到向量坐标运算规律的探索、证明和记忆都与平面向量作类比，让学生经历向量坐标运算由平面向量向空间向量的推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展过程。学习目标：1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。2、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。3、掌握向量的长

3、度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。过程与方法：让学生经历向量坐标运算由平面向空间向量推广的全过程，充分体会数学知识的发生和发展过程。情感态度与价值观：通过空间直角坐标系的建立和空间向量的坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探索能力，提高学生的科学思维素养。学习重点：1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。2、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；学习难点：引入空间直角坐标系后，应用空间向量解决简单的立体几何问题。4教学过程：一、情境引入1.一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到

4、，从三个方向拉巨石，这三个力为、、，它们两两垂直，且、、.若以、、的方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示。2.复习回顾平面向量坐标运算已知=(,)，=(,)，写出下列向量的坐标表示+=(+，+)-=(-，-)=(，)=//=0⊥=0设，则或如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)cosq=（）二、新课讲授：我们知道，向量在平面上可用有序实数对(x，y)表示，在空间则可用有序实数组4表示。类似平面向量的坐标运算，我们可以得出空间向量的加法、减法

5、、数乘及数量积运算的坐标表示。空间向量的直角坐标运算：1．设＝，＝，则⑴＋＝；⑵－＝；⑶λ＝；⑷·＝.上述运算法则怎样证明呢？（将＝＋＋和＝＋＋代入即可）2．两个向量共线或垂直的判定：设＝，＝，则⑴//＝λ，；⑵⊥·=0练习1：已知，求：⑴＋⑵3－⑶6⑷·练习2：已知，且，则x＝.练习3：已知，且，则（）A.B.C.D.3．向量的模：设a＝，则｜a｜＝利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：4．空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点，则A，B两点间的距离5、两个向量夹角公式这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个公式，我们可以求出两个向量的夹角，并可

6、以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos＜、＞＝1时，与同向；4当cos＜、＞＝－1时，与反向；当cos＜、＞＝0时，⊥．练习：已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度.三、典型例题四、课堂小结1.基本知识：（1）空间向量坐标表示及其运算（2）向量的长度公式与两点间的距离公式；（3）求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算.2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。五．巩固练习课本2、3题和7题。六、作业课本5、8、10题。4