高中数学竞赛专题讲座之四解析几何(1)

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1、高中数学竞赛专题讲座之四：解析几何一、选择题部分1．(集训试题)过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使

2、HQ

3、=λ

4、PH

5、(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解：设P(x1,y1)，Q(x,y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3,y)。又∵HQ=λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=.故选C.2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y＝1

6、2上,则抛物线方程为(D)A．B．C．D．3．（2006年江苏）已知抛物线，是坐标原点，是焦点，是抛物线上的点，使得△是直角三角形，则这样的点共有（B）A．0个B．2个C．4个D．6个4．（2006天津）已知一条直线与双曲线（）的两支分别相交于、两点，为原点，当时，双曲线的中心到直线的距离等于（A）10A．　B．　C．　　D．5．(2005全国)方程表示的曲线是（　）A．焦点在轴上的椭圆　　　　　B．焦点在轴上的双曲线C．焦点在轴上的椭圆　　　　　　D．焦点在轴上的双曲线解：即又方程表示的曲线是椭圆.即曲线表示焦点在轴

7、上的椭圆，选C。6．（2006年浙江省预赛）已知两点A(1,2),B(3,1)到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有条.（C）A．1B．2C．3D．4解:由分别以A，B为圆心，，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C。7．（2006年浙江省预赛）设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为（B）A．B．C．D．解：在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对称，由此10的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，的图形在第一象

8、限的面积为A＝.因此的图形面积为.所以选（B）。1,3,51,3,5二、填空题部分1．（2006天津）已知椭圆（），长轴的两个端点为、，若椭圆上存在点，使，则该椭圆的离心率的取值范围是．2．（2006年江苏）已知，则的最大值是9．3．（2006吉林预赛）椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F，若∠ABF是直角，则这个椭圆的离心率为_________。4．（2006陕西赛区预赛）若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c=0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为AxyP(x,y)O5

9、．(2005年浙江)根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是.【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P.设机器人改变方向的点为A，，。则由已知条件有，以及10.所以有即所求平面图形为弓形，其面积为平方米.6．（2006年浙江省预赛）已知,。若为单元素集，则.解由为单元素集，即直线与相切，则.7．(2005全国)若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个

10、顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为　　80　　.解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为则①在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.①、②联立解得或8．（2004全国）在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为_______________.解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为：.对于

11、定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足10解得a=1或a=－7。即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。1,3,5三、解答题部分1．(集训试题)已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。解：

12、以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x,0)，点A(k,λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r,0),N(x+r,0),P(2,0),PQ==1+r。所以x=±,∴tan∠MAN=，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，∴m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-n