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《2019辅导第6讲大数定理和中心极限定理汇总》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、辅导第6讲大数定理和中心极限定理汇总 第六章大数定律和中心极限定理 第1节马尔可夫不等式和契比雪夫不等式 马尔可夫不等式 定理1设随机变量X，若E
2、X
3、k存在(k0)，则对任意0,成立 E
4、X
5、。 P{
6、X
7、}kk证明记A{eS:
8、X(e)
9、}，令IA(e)kk则有IA(e)
10、X(e)
11、。 eA1,。 0,eSAkkkk从而，有EIAE
12、X
13、，即得P(A)E
14、X
15、。 于是成立P{
16、X
17、}E
18、X
19、。 kk对随机变量X，成立 E(
20、XEX
21、),(0,k0)。 P{
22、XEX
23、}k
24、k 利用f(x)x在[0,)上是递增函数，可得 1xIA1
25、X
26、。 1
27、X
28、从而成立 1P{
29、X
30、}E
31、X
32、； 1
33、X
34、IA
35、X
36、
37、X
38、IA，(1IA)。 1
39、X
40、1
41、X
42、1
43、X
44、
45、X
46、
47、X
48、IA(1IA)。 1
49、X
50、1
51、X
52、1
53、X
54、得到E
55、X
56、
57、X
58、
59、X
60、E(IA)E[(1IA)] 1
61、X
62、1
63、X
64、1
65、X
66、119 E(IA)E即成立E1P{
67、X
68、}1。
69、X
70、。P{
71、X
72、}1
73、X
74、1 切比雪夫不等式 定理2设随机变量X存在数学期望EX和方差DX,则对任意正数成立 ,
75、 P{
76、XEX
77、}E(
78、XEX
79、2)2DX2, P{
80、XEX
81、}1P{
82、XEX
83、}1 例1设随机变量 DX2。 X存在数学期望EX和方差DX，且DX0，则对任意a0。 DX1,(a0).22a(aDX)成立P{
84、XEX
85、aDX} xmxe,x0例2设随机变量X的概率密度为f(x)m!，其中m为正整数。 0,x0证明P{0X2(m1)}m.m1证明EX 2xf(x)dx0xmx1xedxxm21exdx m!0m!11(m2)(m1)!m1,m!m!20EXxf(x)dxxmx1
86、xedxxm31exdx m!0m!2 11(m3)(m2)!(m2)(m1),m!m!DXEX2(EX)2(m2)(m1)(m1)2m1, 利用契比雪夫不等式,得 P{0X2(m1)}P{(m1)X(m1)(m1)}P{
87、X(m1)
88、(m1)} 120 P{
89、XEX
90、(m1)}1mDXm1.122m1(m1)(m1)kn例3设随机序列{Xn}和随机变量X，如果对某一k0，有limE
91、XnX
92、0，则对任意0,有limP{
93、XnX
94、}0。 n证明因为对任意0，成立P{
95、XnX
96、}kE
97、
98、XnX
99、kk。 利用条件limE
100、XnX
101、0，即得成立limP{
102、XnX
103、}0。 nn例4设随机变量X的数学期望EX和方差DX均存在,且DX0, 则有P{XEX}1. 证明契比雪夫不等式P{
104、XEX
105、}DX2,得 1DX10P{
106、XEX
107、}0,n1,2,,P{
108、XEX
109、}0,n1,2,, 1nn2n又{
110、XEX
111、0}1{
112、XEX
113、},nn1110P{
114、XEX
115、0}P({
116、XEX
117、})P{
118、XEX
119、}0, nnn1n1于是P{
120、XEX
121、0}0,P{
122、XEX
123、0}1,即P{XEX}1.
124、 (P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1A2)P(A1)P(A2), P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3), P(Ai)P(Ai) i1i1). 第2节 大数定律 定理一(契比雪夫大数定律)设X1,X2,,Xn,是相互独立的随机变量序列,每一个 Xi都有有限的方差,且有公共的上界,即D(Xi)C,i1,2,,n,则对任意0,成立 1n1nlimP{
125、XiEXi
126、}1,nni1ni1 121 1n1nlimP{
127、XiEXi
128、}0.nni1ni1 定义对于随机(
129、变量)序列{Xn}和随机变量X(或常数a),若对任意0,有 nlimP{
130、XnX
131、}1(或limP{
132、Xna
133、}1) n则称随机(变量)序列{Xn}依概率收敛于X(或常数a). PP(等价于limP{
134、XnX
135、}0)简记为Xna,(n))X,(n)(或Xnn推论(辛钦大数定律)若随机变量序列X1,X2,,Xn,独立同分布,且存在有限的数学期望和方差EXi,DXin2,(i1,2,)，则对任意 0,有 limP{
136、X
137、}1, 1n其中XXi. ni1定理二(贝努里大数定律)设nA是n次
138、独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件 A在每次试验中发生的概率,则对任意0,成立limP{
139、nnAp
140、}1.n例1设X1,X2,,Xn,是相互独立的随机变量序列,且其分布律为 P{Xnn}111,P{Xn},P{X0}1,(n1,2,)；nn2n12n12n1n记YnXi,(n1,2,)。证明:对任给0，成立limP{
141、Yn
142、}1。 nni1证明数学期望和方差的性质及条件,有 EXnnEXn211n00，2n12n111n(n)2n1(n)2n10n。 2222DXn
