《高考直通车》2017届高考数学一轮复习备课手册：第30课正余弦定理及其简单应用

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1、第30课正余弦定理及其简单应用一、考纲要求1.掌握止弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2・能运用正余弦定理解决三角形屮有关问题。二、知识梳理1.在△ABC中，3=60°,075°,d=4,则5=・【教学建议】本题考查的是正弦定理的应用，解题后总结利用正弦定理解决的解斜三角形的两类问题：(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边与其中一边的对角，求其余一边和其他两角。及正弦定理的常见变式：(1)化边为角：a=2/?sinA,b=2/?sinB、c=2/?sinC;(2)化角为边：sinA=-^,sinB-——,sinC=.2R2

2、R2R2.在△43C中，a:b:c=3:5:7,则这个三角形中最大内角为・【教学建议】本题考查的是余弦定理的应用，利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边与它们的夹角，求第三边和其他两个角.注意等式结构，一般与边的平方和、差有关的，容易联想余弦定理。3.已知锐角AABC的面积为3晶,BC=4fCA=3f则角C的大小为【教学建议】本题主要考查三角形面积公式：S=—absinC=—besinA=—easinB=^-=丄(d+b+c)r2224R2三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼

3、要地写在学习笔记栏。上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。2、结合课件点评。必要时对借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程。题1：在△ABC中，tz=15,/?=10,ZA二60°贝Ijcosfi=.【点评】强调画图，条件中已知两边及一边的对角能求出什么？若用正弦定理，可求出sinS.追问sinB的值是一解，还是两解？这里的〃是锐角还是钝角？依据是什么？若用余弦定理做，怎么做？若b变为18呢？cosB有几解？题2:己知AABC的三边长分别为a,b,c,且(o+/?+c)(a-/?+c)=oc,则ZB=.答案为:120°.【点评】解三

4、角形首先分析条件，进行模式识别.很明显本题是对余弦定理的直接使用.题3：在ABC中，已知A=-tc=y/3a,则MBC的形状是.6【点评】问题：条件式中既含有边，又含有角？向哪个方向转化？一一边？角？尝试后，发现转化为边和转化为角都”转化为角，由条件得si心屈讪吟，所以c詣或C耳；转化为边，由余弦定理得&=/r+力-2^4"以—或h=y/2a,都可以得到最后的答案。题4：在AABCm，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC,则角0=.【点评】上面的第3题两个途径都可以，既可以转化为边，也可以转化为角。本题可就华山一条路了，只能转化

5、为角，由正弦定理转化为角之后，直接得到角C的正切值，又在三角形中，获得最终答案。3、诊断题归纳(1)用正弦定理解斜三角形时，要注意运用三角形中大边对大角的性质来判断解得个数；(2)掌握边角转化的方向和方法。要体会什么情境下用余弦定理或正弦定理转化。四、范例导析例1在MBC中，角A,B,C的对边分别为d,b,c,H.b=dCosC,且AABC中的最大边长为12,最小角的正弦值为丄.(1)判断三角形的形状；(2)求AABC的而积。3【教学处理】强调画图。由学生口答，分析思路，再由两位学生从不同角度板演，并进行比较，教师点评。【启发谈话与精讲建议】(1)b=aco

6、sC这个条件怎么转化？是角化边？还是边化角？如果不确定，那就先尝试一下。(2)判断好三角形形状后，如何确定最大边？如何确定最小角？如果不能确定，那采用什么方法？7TABD例2、沁在AABC中，ZB盲，停8,“在BC上,且CD=2,cosZ.ADC=—.7(1)求sinABAD；(2)求BD,AC的长.【教学处理】师生共同分析题意，弄清条件、结论。由学生自己求解，或板演或提问。MBD能够确定吗？已知两角一边解三角形，是用正弦定理还是余弦定理？联想正弦定理。问题1:解：(1)问题2：在AADC中，vcosZADC=si=77/.sinABAD=sin(ZADC一

7、ZB)=sinZADCcosZB—cosZADCsinZB4^311V33^3=XX=•727214R3a/3(2)在屮，由正弦定理得BD=ABsinZBAZ)_X7rsin上ADB一4点在MBC屮，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos=49,AC=7,【评注】在解三角形问题屮，注意利用基本图形寻找角之间的关系，并注意两角和、差公式,三角函数基木关系、正弦、余弦定理的实际运用.(备用题)在MI3C的内角A,B,C的対边分别为a,b,c,(1)若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,求A的值(2)若c=10,A=45C=30求b的值g【教学

8、处理】由学生自己分析并求解，或板演或提问C问题1:条