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《九年级数学奥数知识点专题精讲---根与系数的关系及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、知识点、重点、难点一元二次方程根与系数关系：设一尤二次方程ax2^-bx+c=0（“H0,a"、c为实数）的阴根为町、比・则冇-1*1+工2=——»才口2=£.反之，若两数4、工2满足才1+工2=—,aaa工皿=£，则此炳数是方程。十+肛+c=0的两根.a根据已知一尤二次方程•运用根与系数关系•对求出某些含两根的代数式的值和确定方程中字母系数的值或取値范I此例题精讲例1：二次方程x2^-ax+b^l=0的根是正整数，证明：/+/是合数。证明设这两止整数根分别为4、工门则申+工2=—4且工M2=〃+1・所以a2+b2=（X
2、+工2尸+（X1X2—1）2=工：
3、+刃+才刃+1=（X14-1）3+1）・证得门+夕是合数.例2：设关于兀的一元二次方程+斤二0的一根为另一根的a（aH-l）倍，试求系数m、n间的关系。解设方程的两根为4、工2・忖.厂="•七.由根与系数关系得乃+工2=—m、x}x2=小肉而有ax2+花=_m■却x2=•故X=4+1am.。+1•由劝工2=〃得()()=小故rn2a=n(a+l)2.a+1八a-p17例3：方程x2+4x+1=0的两根是a、0.（1）求伞+逕的值；4a（2）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于Q、0的倒数的立方。解由根与系数的关系得a+P=-4,車=1.=4;(2
4、)设所求的方程为b+Ay+q=0,且购根为加，71,有p=—(加+几)=(a+Q3—3昭(a+Q一64+121=52.q=〃“=占•右=1.故所求方程为，?+52,+1=0.例4：二次方程xC中至少有一个大于牙.例6：p、q为正质数，方程x2-^p2x-^q3=0有整数根吗？解因系数为正质数均大于零,故方程F+p2H+g3=0无正根，又工口2=故儀数根只可能为一1・一庁或一⑴一/胸组.(1)若一(xi+工2)=—(―1—g'〉=1-f-g3=p2♦即1=p2—q'・因1为奇数,则质数P、q中必有一为偶数2•易得p=3・g=2;4-AU-+p=0的两根为G、
5、0；F+处+q=0的两根为厂、8,证明：(Q-厂)(Q-/)(0-r)(0-5)=(“一q)2・证朋由根与系数关系得a+0=厂+§=—”，afi=p,沦=q.又a+〃a=一卩，严+加=一保所以(a-rO(a—"(0—厂)(0—"=［戸一(厂+力口+・0?2一(厂p)p+厂刃=(a?+na+9)(严+护+q)=(―p+g)2=(p—g)2例5：a、b、c均是实数，且Q+b+c=(),abc=1.3证明：a、b、c屮必有一个数大于一・2证明由已知可得：“、〃、C三数中•一个为正数，两个为负数•不失一般性.3=
6、■•所以a"、~=0的两个实数根•从而△=a不妨设
7、a>0.由题设得"+。=一4,加=丄.所以6、c是关于工的方程P+"+习题一、填空题1.如果方程＞/3x2-2x=x-1的两个根是壬、兀2，则西+兀2二2.若方程〒+加+c=0有两个正的实数根，则其中系数人c应满足的条件是。3.关于x的一元二次方程无2_处_3^=0的一个根是6,另一根是o4.已知方程/+俶_4=0的两根的绝对值相等，则这个方程的根是。5.已知旺、花是关于％的方程F+2兀+"『=0的两个根，且(Xj-x2)2=2,则m的值是。6.关于兀的方程x2+(2m-3)x+m2+6=0的两实数根之积是两实数根Z和的2倍，m-o7.已知土並、T"是关于
8、x的二次方程or?+加+1=0的两个根，22则b的值是。&设方程x2- x+k-2=0的一个根的3倍少7为另一个根，则k=那么厶+厶=x{x212.设％0是方程2x2+3x-1=0的两个根，利用韦达定理求下列各式的值：(1)a2+/32；(2)小严(3)Q+10+1一、填空题1.已知兀］、兀2是方程兀'J兀+1=0的两个根,2.已知再、兀2是方程x2-(m+l)x+m=0的两个不相等的实数根，且有(Xj-x2)2<4,则加的取值范围是3.设方程x+丄=1999的两根为b,则代数式Q(口-)的值xl-b是04.已知方程/+似+1=〃的根是正整数，则cr+
9、b2是数。5.已知x+y=l,x2+>,2=2,则x6+y6—。6.关于X的方程X2+(/774-2)X+/77-5=0有两个正根，则加的取值范围是2,贝ijm为,n=o9.若方程2/一伙2一羽兀+比二0的两个实数根互为相反数，则k—o10.已知加、川是正整数，关于兀的方程4%2-2mx--n=0有两个小于1的正根，则加的值是，兀的值是0二、解答题9.当加为何值吋，方程%2-（/??+l）x+m=0的两根满足：（1）都为正根；（2）两根异号，且负根的绝对值大于正根的绝对值；（3）两根都大于一1；（4）两根中一个大于一1,另一个小于一1。10.已知实数x、
10、y、z满足x=6-y,z3=xy-9，比较x、y的大小关系。一、填
