第2章(3)一元线性回归模型的统计检验1

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1、§2.3一元线性回归模型的统计检验一、拟合优度检验二、变量的显著性检验三、参数的置信区间说明一元线性回归模型是最简单的回归分析模型。回归分析就是要根据样本数据对总体回归模型的参数进行估计，或者说是用样本回归线近似代替总体回归线。尽管从参数估计量的统计性质我们已经知道，如果进行多次抽样，那么参数估计量的期望值（均值）就等于总体参数的真值，但是依据一次抽样所得到的参数估计值不一定等于该参数的真值。那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的差异有多大？差异是否显著？这就需要进一步进行统计检验。一元线性回归的统计检验主要包括：拟合优度检验；变量的显著性检验；此外,教材的这一节还包括回归参数的置信区间。

2、一、拟合优度检验（TestingtheSimulationLevel）（见教材P40）拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。度量拟合优度的指标：判定系数（可决系数）R2问题：采用普通最小二乘法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？答案：普通最小二乘法所保证的最好拟合，是同一个问题内部的比较；而拟合优度检验结果所表示的优劣是不同问题之间的比较。我们来看两个例子。例：关于左图：关于右图：1、总离差平方和、回归平方和及残差平方和(教材P40)假定由一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2…,n，已经得到如下样本回归直线那么，如何构造表征拟合程度的统计量

3、R2？这与下面的一组概念有关。极端情形：如果Yi=Ŷi，即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好。这时可以认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。其中：对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离差的平方和：记总体平方和（TotalSumofSquares）回归平方和（ExplainedSumofSquares）残差平方和（ResidualSumofSquares）总离差平方和TSS（TotalSumofSquares）：反映被解释变量样本观测值总体离差的大小；回归平方和ESS（ExplainedSumofSquares）：反映由模型中解释变量所解释的那部分离差的大小；残差平方和RS

4、S（ResidualSumofSquares）：反映被解释变量样本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变量未解释的那部分离差的大小。TSS=ESS+RSS可以证明（根据正规方程组）：也即结论：被解释变量Y的观测值围绕其均值的总离差(totalvariation)可以分解为两部分：一部分来自回归线(ESS)，另一部分则来自随机因素(RSS)。对于给定样本，总离差平方和TSS不变；如果样本回归线离实际观测点越近，则回归平方和ESS在总离差平方和TSS中所占的比重越大。因此，可以定义拟合优度：回归平方和ESS/总离差平方和TSS2、可决系数R2统计量称R2为可决系数（coefficientofd

5、etermination)或判定系数。可决系数R2的取值范围：[0，1]R2越接近1，说明实际观测点离样本回归线越近，拟合优度越高。在例2.2.1（P34-35）的可支配收入－消费支出例子中，结果表明，在Y的总变差中，有97.66%可以由X做出解释。换句话说，可支配收入可以解释消费支出总变差的97.66%。回归方程对样本观测值的拟合效果好。例2.2.1（P34-35）的Eviews软件运行结果：二、变量的显著性检验回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一个显著的影响因素。在一元线性回归模型中，就是要判断X对Y是否具有显著的线性影响。这就需要进行变量的显著性检验。或者说，需要对回归参数

6、1的真值是否为零进行显著性检验。变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的假设检验。1.关于假设检验（教材P43）所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设（原假设），然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否显著地有差异，从而决定是否拒绝原假设。假设检验的程序：先根据实际问题的要求提出一个论断，称为统计假设，记为H0；然后根据样本的有关信息，对H0的真伪进行判断，作出拒绝H0或接受H0的决策。假设检验的基本思想是概率性质的反证法。也就是说，为了检验原假设H0是否正确，先假定这个假设是正确的，看由此能推出什么结果。如果导致一个不合理的结果，则表明“假设H

7、0为正确”是错误的，即原假设H0不正确，因此要拒绝原假设H0。如果没有导致一个不合理现象的出现，则不能认为原假设H0不正确，因此不能拒绝原假设H0。概率性质的反证法的根据是小概率事件原理。该原理认为“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”。换句话说，一个几乎不可能发生的小概率事件（“检验统计量的样本值落入拒绝域”）在一次试验中就发生了，这违背了小概率事件原理，也就意味着导致了一个不合理的结果。