常微分方程模型new

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1、第一讲常微分方程模型一、问题的提出二、几个具体的例子三、本讲习题内容学习目标了解常微分方程的一般形式通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型Leibniz(1646-1716)1)函数方程(泛函方程):2)微分方程常微分方程的一般形式一、问题的提出未知量是一个函数方程未知量既有自变量、未知函数，又有未知函数的导数的函数方程A常微分方程B偏微分方程3)n阶常微分方程(n阶方程)其中是一个元的已知函数,而,,是未知函数的一阶直至阶导数.我们称n为方程的阶,称方程为n阶常微分方程二、几个具体的例子自Newton,Leibniz创立微积分以来,人们就开始研究微分方程.微分方程的发展极

2、大地推动了自然科学、技术科学和社会科学的发展.到今天它已广泛地渗透到了物理学、化学、生物学、工程技术乃至社会科学等各个领域,反过来这些领域中提出的实际问题也推动了微分方程领域走向纵深,使之成为当今经济发展和社会进步所不可缺少的一门高技术.Newton(1643-1727)(1)几何学中的无穷小分析和曲面,曲线方程的描述(2)物理学、化学、生物学、经济学中的许多基本规律(3)电子工程、机械工程、控制技术、航天技术中的许多基本原理实际问题微分方程数学建模数学建模例1F例2mg例2设质点B作自由落体运动,即只考虑重力对落体的作用而忽略空气阻力等其他外力的影响.例3例4例4经典天体力

3、学中的开普勒第一定律指出,行星以椭圆轨道围绕太阳运转.由于各个天体在万有引力作用下互相影响,行星的实际运行轨道为缓慢进动的椭圆：其轨道的形状在运行一周后与椭圆几乎没有偏差,但是轨道的性态随时间而逐渐发生变化,如右图.其中我们以夸张的形式描绘了其进动的椭圆轨道.多体问题:二体问题:研究多个天体在万有引力作用下的运动规律考虑两个物体在万有引力作用下运动.mMomMo根据万有引力定律,有因此我们得到r满足的微分方程设坐标原点为.解:设曲线的方程为按照夹角关系,有例5三、本讲习题习题1.1,1,2.作业莱布尼兹(Leibniz,GottfriedWilhelm,1646-1716)德

4、国数学家、自然科学家、哲学家。1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于汉诺威。他的研究涉及逻辑学、数学、力学、地质学、法学、历史、语言及神学等多种领域，其目的是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法。在数学中以独立创立微积分学而著称，所发表之论文从几何学的角度论述微分法则，得到微分学的一系列基本结果，是较早的微积分文献。1686年他又发表第一篇积分学论文，可以求出原函数。这两篇文献均早于牛顿首次发表的微积分结果(1687)，但他开始从事研究的时间要晚近10年，因此数学史上将他二人并列做为微积分的创立者。莱布尼兹于1694年进一步补充了积分结果。他创设的数学符

5、号非常优良，对微积分的发展有极大影响，直到现在仍在使用。