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1、等比数列性质一、选择题1.已知数列成等差数列,成等比数列，则的值为()A、B、—C、或—D、2.等比数列中，为方程的两根，则的值为（）5.等比数列的各项均为正数，且＝18，则＝()A．12B．10C．8D．2＋6.是公差不为0的等差的前项和，且成等比数列，则等于（）A.4B.6C.8D.107.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则等于A、28B、32C、36D、408.等比数列的前项和为，若，则公比为（）A.1B.1或－1C.或D.2或－29.已知等比数列{an}的公比为2，前4项的和是1，
2、则前8项的和为A．15B．17C．19D．21二、填空题13.设等比数列{}的前n项和为。若，则=15.等比数列{}的公比,已知=1，，则{}的前4项和=16.等比数列的前项和=，则=_______.三、解答题17.（2006全国Ⅰ卷理）设数列的前项的和，，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：-11-3.解:(Ⅰ)由Sn=an－×2n+1+,n=1,2,3，…,①得a1=S1=a1－×4+所以a1=2.再由①有Sn－1=an－1－×2n+,n=2,3，4,…将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=(an－a
3、n－1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1)Tn==×=×(－)所以,=－)=×(－)<8.（2006安徽理）数列的前项和为，已知（Ⅰ）写出与的递推关
4、系式，并求关于的表达式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。8.解：由得：，即，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。（Ⅱ）由，得。而，所以，对成立。由，，-11-10.（2005山东文）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数10.解：由已知可得两式相减得，即从而当时,，所以又所以，从而故总有，又，从而,即数列是以为首项，2为公比的等比数列；（II）由（I）知因为所以从而==-=.例题2.（2007年二次月考）设数列的前n项和为Sn，若是首项为1，各项均为正数且公比为q的
5、等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）试比较的大小，并证明你的结论.解析：（Ⅰ）∵是各项均为正数的等比数列.∴.当n=1时，a1=1，当-11-∴。（Ⅱ）当n=1时，∴∴当∵①当q=1时，②当③当综上可知：当n=1时，当若若点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。考点二：求数列的通项与求和例题3.（2007年5月湖北省十一校）.已知数列中各项为：个个12、1122、111222、……、……（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n项之和Sn.解析：先要通过观察，找
6、出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。答案：（1）个记：A=,则A=为整数=A(A+1)，得证-11-(2)点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要例题4.(云南省2007年第一次高中毕业生复习统一检测)已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）.（I）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（II）设的前n项和，求.解析：（I）两式相减：是以2为公比的等比数列，（II）而点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通
7、项，第二问求和用到裂项的办法求和。考点三：数列与不等式的联系例题5.（2007年5月莆田四中）已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项.⑴求函数的表达式；⑵求证：；-11-⑶求证：解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。答案：解：⑴又∵为锐角∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴∵,,又∵∴∴∴点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的式子更具有一般性。例题7.（2007年5月
8、2007浙江省五校）已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:（Ⅰ）（Ⅱ）-11-（Ⅲ）若则当n≥2时,.解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。答案：解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0
