高中数学第三章推理与证明高考数学类比题考查类型探求拓展资料素材北师大版选修1-2

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1、高考数学类比题考查类型探求从近儿年高考数学试题屮不难看出，类比题已成为高考试题的热点问题。笔者认为求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项，通过对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在联系。卜•举例谈谈高考数学类比题考查类型。一、图象特征类比型例1、如图1,对于函数/(x)=xx>0)上任意两点A(°,/),B(b,bj,连线段AB必在弧线段AB的上方，设点C分盘的比为久(2>0),则由点C在点C'上方可得不等式"+"〜>(纟丈空孑。1+A>1+2〉请分析函数y二l

2、nx(x>0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是•解析:木题的类比物是函数/(x)=x2(x>0)与函数y=lnx(x>0)的图象，而类比项是a,bljAZ间建立的不等关系.首先弄清不等式浮〉(鵲)2的来龙去脉。按题给信息’该不等式是“由点C在点C上方”得到的，也就是说该不等式是这一儿何特征的代数化。因为C分的比为2(A>0),乂因为AS,/),b@,冏,所以口竺是C点的纵坐标，而出乞是C点的横坐标，(£±^)21+2>1+几>1+几>就是C点的纵坐标。因此由C点在C点的上方•即得半尹〉(證几最后•作出函数y=

3、lnx(x>0)的图象(如图2)进行比较分析.设函数图象上任意两点A(a,Ina),B(b,加b)),点C分殛的比为2(兄>0),则C点坐标为为(£±^严+'叫。&点坐1+21+2标为(匸芈,1(1空芈)。显然冇C点在C，点的下方。因此可以得到的不等式是1+21+2a+Ab.a-^Ab

4、),/2eN、为等比数列,n-m且饥=a,bn=b(m工n,m,ngN*),若类比上述结论，则可得到则饥+”=。解析:本题的类比物是等差数列｛色｝与等比数列｛化｝,类比项是数列的笫m+n项与第m项、第n项的等量关系，因为在等差数列仏｝中，山等差数列性质得+加即严Jn-a-mo所以在等比数列｛亿｝中，n”+讹[ain^n=b+md心"n-m防心"伽工“,川M),则％”=上匸也同样由等比数列的性质得n一m=ci・q"匕nm+n=b・Qbn―刊=—・q"—卩点评：实际上，等差数列与等比数列的类比是“运算法则”的比较，是等差

5、数列中的“和、差、积、商”与等比数列中的“积、商、幕、开方”一一对应，即等差数列中的“bn,am”在等比数列中变为“b”，am”，“b・n—a・m”变为叫”,因此n一m的类比项为饥+”三、计算方法类比型21例3、对于数学问题“已知cos(o-0)=—,cos(a+0)二一，求tanatan0的值”。我们计算可得伽6Ztan/?=—的值。请你分析该数学问题，用类比推理的方法，给岀类似11的一组可以求现竺的值的条件：」tan#解析：应该说本题的类比物与类比项是难以确定的。我们首先来分析一下原数学问题是如何由条件求lllt

6、an«tan/?=p的值，将条件利用两角和与差的余弦公式展开，由2cosacos0+sinasinp=—3zz>tanatan/?==—tUFlp..c5cosacos11sinasinp=—24QinzyCOS/?确定的，可以设想条件应该是关于sin仅cos0,cosasin0的二元方程，类比cos«sin0原问题条件形式，H然联想到两角和与差的正弦公式，因此，这组条件可以是：21sin(a-0)=§,sin(«+/?)=—0点评:本题是开放

7、题，条件可以多种多样，一般写出sin(a—=sin(a+0)二b,只要a<^h<1即可。)现在我们不难发现，本题的类比物实际上是一种三角运算结构的“定式”，类比项是两角和与差的正、余弦公式。四、性质定义类比型例4、我们知道：在抛物线中，以过抛物线焦点的弦为直径的鬪，必与抛物线的准线相切，类比这一抛物线性质，研究椭圆或双曲线中，以过焦点的弦为直径的与对应准线的位置关系，同样町以得出类似的性质.请你写出一个正确的性质。解析：木题的类比物是圆锥1111线屮的抛物线、椭圆与双曲线，类比项是以焦点弦为直径的圆与相应准线

8、的位査关系，首先我们探求抛物线屮“以焦点弦为直径的圆与准线相切”的实质.如图3,A,B,M(M为圆心)在准线1上的射影为a第M,则+由抛物线的定义知AA1=AF,BB,=BF^MM1=-(AF+BF)=-AB,所以以AB为直2径的圆与准线1相切。现在利用圆锥川1线的统一定义“到焦点距离与其到相应准线的距离之比等于离心率”，考虑椭圆或双曲线中的类