高中数学三推理与证明高考数学类比题考查类型探求拓展资料素材北京师范大学版选修

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1、高考数学类比题考查类型探求从近几年高考数学试题中不难看出，类比题已成为高考试题的热点问题。笔者认为求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项，通过对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在联系。下举例谈谈高考数学类比题考查类型。一、图象特征类比型例1、如图1，对于函数上任意两点A,B，连线段AB必在弧线段AB的上方，设点C分的比为(>0)，则由点C在点上方可得不等式。请分析函数y=lnx(x>0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解析:本题的类比物是函数与函数y=lnx(x>0)的图象，而类比

2、项是a,b与之间建立的不等关系.首先弄清不等式的来龙去脉。按题给信息，该不等式是“由点C在点上方”得到的，也就是说该不等式是这一几何特征的代数化。因为C分的比为(>0)，又因为A,B，所以是C点的纵坐标，而是C点的横坐标，就是点的纵坐标。因此由C点在点的上方.即得。最后.作出函数y=lnx(x>0)的图象(如图2)进行比较分析.设函数图象上任意两点A,B)，点C分的比为(>0)，则C点坐标为为。点坐标为。显然有C点在点的下方。因此可以得到的不等式是。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。点评5：本题通过两类函数的图象特征结合定比分点公式类比得出函数一个重要不等式性质，其实质就是函数的

3、凹凸性。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。一、运算法则类比型例2、已知命题：若数列为等差数列，且。现已知数列为等比数列，且若类比上述结论，则可得到。解析:本题的类比物是等差数列与等比数列，类比项是数列的第m+n项与第m项、第n项的等量关系，因为在等差数列中，由等差数列性质得。所以在等比数列中，同样由等比数列的性质得。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。点评：实际上，等差数列与等比数列的类比是“运算法则”的比较，是等差数列中的“和、差、积、商”与等比数列中的“积、商、幂、开方”一一对应，即等差数列中的“”在等比数列中变为“”,“”变为“”，因此的类比项为。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。三、计算方法类比型

4、例3、对于数学问题“”。我们计算可得。请你分析该数学问题，用类比推理的方法，给出类似的一组可以求的条件：。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解析：应该说本题的类比物与类比项是难以确定的。我们首先来分析一下原数学问题是如何由条件求出，将条件利用两角和与差的余弦公式展开，由5。考虑到是由确定的，可以设想条件应该是关于的二元方程，类比原问题条件形式，自然联想到两角和与差的正弦公式，因此，这组条件可以是：。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。点评:本题是开放题，条件可以多种多样，一般写出，只要即可。)现在我们不难发现，本题的类比物实际上是一种三角运算结构的“定式”，类比项是两角和与差的正、余弦公式。茕

5、桢广鳓鯡选块网羈泪。四、性质定义类比型例4、我们知道：在抛物线中，以过抛物线焦点的弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切，类比这一抛物线性质，研究椭圆或双曲线中，以过焦点的弦为直径的与对应准线的位置关系，同样可以得出类似的性质.请你写出一个正确的性质。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解析：本题的类比物是圆锥曲线中的抛物线、椭圆与双曲线，类比项是以焦点弦为直径的圆与相应准线的位置关系，首先我们探求抛物线中“以焦点弦为直径的圆与准线相切”的实质.如图3,A,B,M(M为圆心)在准线l上的射影为.由抛物线的定义知，所以以AB为直径的圆与准线l相切。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。现在利用圆锥曲线的

6、统一定义“到焦点距离与其到相应准线的距离之比等于离心率”，考虑椭圆或双曲线中的类似问题，如图4，设曲线C是椭圆或双曲线的一部分，离心率为e。A、B、M在准线l上的射影为.由统一定义知，所以以AB为直径的圆与准线l相切。若曲线C是椭圆，则“0AB，以AB为直径的圆与准线l相离.若曲线C是双曲线，则e>1,MM'<5AB，以AB为直径的圆与准线l相交.因此，类比得出的性质是“在椭圆中，以过椭圆焦点的弦为直径的圆，必与椭圆的相应准线相离”，或“在双曲线中，以过双曲线焦点的弦为直径的圆，必与双曲线的相应准线相交”。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。点评：解析几何的研究对

7、象是直线、圆和圆锥曲线，因此，在圆、椭圆、双曲线、抛物线之间相互类比，是类比推理的主要内容．在解析几何中，通过类比，有利于发现新定理以及开拓解题思路的重要方法．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。五、平面空间类比型例5、在DEF中有余弦定理：.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。解析：根据类比猜想得出.其中为侧面为与所成的二面角的平面角.证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，同乘以，得即点评：本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三