研究生入学考试高数解题方法与指导

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1、科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙,是由必然王国通向自由王国的桥梁。数学方法是数学的灵魂高等数学方法（下）1参考书张晓宁、李安昌：高等数学方法中国矿业大学出版社，2000.2目录第一讲空间解析几何方法及研究多元函数微分学概念的方法第二讲多元函数微分法及其应用第三讲二重及三重积分的计算法第四讲线面积分的计算法第五讲级数的收敛、求和及展开法第六讲几类常微分方程的求解法第七讲高等数学中的方法综述注意问题：认真听课，扼要记录，多做题目，总结规律。3第一讲空间解析几何方法及研究多元函数微分学概念的方法一元推广多元（以二元为主）基本

2、方法：前后类比,区别异同,化繁为简一.方法指导空间形式数量关系相结合的方法坐标法;向量法。4-1空间解析几何方法(P203)41.向量代数方法以向量为工具,用代数方法研究几何问题优点:与坐标系选择无关,推理简捷方便•向量的概念模,方向余弦,单位向量•向量的运算加法,数乘,点积,叉积,混合积(P205)•向量间的关系•向量法的应用讨论几何方面的问题在多元函数微积分学中的应用平行,垂直,夹角,共线,共面,投影(P204及P206)2.空间平面与直线基本方程(P207)相互关系(P208)53.相关的几个问题（P209～P2

3、11）(1)过直线的平面束方程(2)点的距离：到平面：Ax+By+Cz+D=0d为不全为0的任意实数6例.点到平面的距离是10年考研7说明：求两平行平面之间的距离，其中解：在其中一平面上任取一点，则该点到另一平面的距离即为所求的距离。在上取一点8到直线的距离为(3)点d如图所示9(4)两异面直线间的距离直线直线之间的距离推论:两直线共面104、向量的混合积(1)定义已知三向量称数量混合积。记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其11(2)混合积的坐标表示设12(3)性质(1)三个非零向量共面的充

4、要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)134.空间曲面和曲线(P211-P214)旋转曲面;柱面;二次曲面(截痕法);投影曲线;圆柱螺旋线。二.实例分析例1.设则(考研1995;P506题51)提示:14例2.已知一四面体的顶点求该四面体体积。解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故15例3.证明四点共面。解:因故A,B,C,D四点共面.16例4.设试求解:原式=是非零向量,且17例5.证明平面被三个坐标面所截得的三角形面积为(P216例4)证:如图所示18例6.设则直线与直线(A)相交于一点

5、;(B)重合;(C)平行但不重合;(D)异面。(考研1998)提示:设三点由已知条件不共面,因此点构成三角形.二直线分别过三角形的顶点且平行于对边,因此必交于一点.19练习(1)给定直线及平面则直线L(A)平行于;(B)在上;(C)垂直于;(D)与斜交。(考研1995)提示：20练习(2)设一平面经过原点及点(6,–3,2),且与平面垂直,则此平面方程为(考研1996)提示：所求平面21例7:求过点A(-1,0,4)且平行于平面又与直线相交的直线方程。解:设两直线的交点B所求直线L:22例8.一直线过点P(2

6、,–1,3)且与直线相交,平行,求此直线方程。(P218例6)解:设所求直线与已知直线的交点为则所求直线的方向向量为从而交点坐标满足方程组:解得故所求直线为又与平面23思路:先求交点例9.求过点且与两直线都相交的直线L。提示:的方程化为参数方程设L与它们的交点分别为再写直线方程.24三点共线25练习求过原点，且与直线及都相交的直线L的方程。对应的参数方程为所求直线L与已知直线的交点分别为解令26练习求过原点，且与直线及都相交的直线L的方程。所求直线L与已知直线的交点分别为有解得,得所求直线解故27例10.试求与的角平分

7、平面方程。解.利用平面束方程:其法向量为的法向量分别为的夹角相等与由此解得故所求二角平分面方程为即28例11.求过直线L:且与平面Π:夹成角的平面方程。提示:过直线L的平面束方程其法向量为已知平面π的法向量为选择使从而得所求平面方程可以证明平面与平面Π的夹角也为29例12.设一平面平行于直线且垂直于平面求该平面的方向余弦。(P220例7)解:已知直线的方向向量为已知平面的法向量为取所求平面法向量故所求平面方向余弦为30例13.在平面与三坐标平面所构成的四面体内求一点,并求内切于四面体的球面方程。(P221例8)解:设所

8、求点为因为所以故从而得内切球面方程:且有使其与四面体各侧面间的距离相等,它位于第一卦限,31例14.在球面上求一条曲线，使其上的每一点的法线与平面的夹角为解：因为在球面上的曲线任意点的而平面的法向量设法线与平面的夹角为则法向量为已知，故于是所求曲线为。32例15.将直线绕z轴旋转一周,求旋转曲面的方程。(P223例10)解:直线方