资源描述:
《等差数列练习题有答案资料》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列A、等差数列知识点及例题一、数列由与的关系求由求时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为。〖例〗根据下列条件,确定数列的通项公式。分析:(1)可用构造等比数列法求解;(2)可转化后利用累乘法求解;(3)将无理问题有理化,而后利用与的关系求解。解答:(1)(2)……累乘可得,故(3)13二、等差数列及其前n项和(一)等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法:第一种是利用定义,,第二种是利用等差中项,即。2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断。(1)通项法:若数列{}的通项公式为n的一次函数,即=A
2、n+B,则{}是等差数列;(2)前n项和法:若数列{}的前n项和是的形式(A,B是常数),则{}是等差数列。注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。〖例〗已知数列{}的前n项和为,且满足(1)求证:{}是等差数列;(2)求的表达式。分析:(1)与的关系结论;(2)由的关系式的关系式解答:(1)等式两边同除以得-+2=0,即-=2(n≥2).∴{}是以==2为首项,以2为公差的等差数列。(2)由(1)知=+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,∴=,当n≥2时,=2·=。又∵13,不适合上式,故。【例】已知数列{an}的各项均为正数,a1=1.其前n项和
3、Sn满足2Sn=2pa+an-p(p∈R),则{an}的通项公式为________.∵a1=1,∴2a1=2pa+a1-p,即2=2p+1-p,得p=1.于是2Sn=2a+an-1.当n≥2时,有2Sn-1=2a+an-1-1,两式相减,得2an=2a-2a+an-an-1,整理,得2(an+an-1)·(an-an-1-)=0.又∵an>0,∴an-an-1=,于是{an}是等差数列,故an=1+(n-1)·=.(二)等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式=+(n-1)d及前n项和公式,共涉及五个量,,d,n,,“知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;2、数列的通项公式和前n项和
4、公式在解题中起到变量代换作用,而和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。注:因为,故数列{}是等差数列。〖例〗已知数列{}的首项=3,通项,且,,成等差数列。求:(1)的值;(2)数列{}的前n项和的公式。分析:(1)由=3与,,成等差数列列出方程组即可求出;(2)通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答:(1)由=3得……………………………………①13又,得…………………②由①②联立得。(2)由(1)得,(三)等差数列的性质1、等差数列的单调性:等差数列公差为d,若d>0,则数列递增;若d<0,则数列递减;若d=0,则数列为常数列。★2、等差数列的简单性质:
5、已知数列{}是等差数列,是其前n项和。(1)若m+n=p+q,则,特别:若m+n=2p,则。(2)仍是等差数列,公差为kd;(3)数列也是等差数列;(4);(5)若n为偶数,则;若n为奇数,则;(6)数列也是等差数列,其中均为常数,是等差数列。典型例题1.等差数列中,若,则=_____225___;2.(厦门)在等差数列中,,则其前9项的和S9等于(A)A.18B27C36D93、(全国卷Ⅰ理)设等差数列的前项和为,若,则=244、等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(C)(A)130(B)170(C)210(D)1605.(湖北卷)已知两个等差数列
6、和的前项和分别为A和,且,则使得为整数的正整数的个数是( D )A.2B.3C.4D.5136、在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=________. 由an+1=2an+3,则有an+1+3=2(an+3),即=2.所以数列{an+3}是以a1+3为首项、公比为2的等比数列,即an+3=4·2n-1=2n+1,所以an=2n+1-3.7、已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则
7、m-n
8、的值等于________. 如图所示,易知抛物线y=x2-2x+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴x=1,它
9、们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.因为xA=,则xD=.又
10、AB
11、=
12、BC
13、=
14、CD
15、,所以xB=,xC=.故
16、m-n
17、=
18、×-×
19、=.8、在等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13,则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________.设公差为d,则11(-3+4d)=5(-3+7d)-13,∴d=.∴数列{an}为递增数列.令an≤0,∴-3+(n-1)·≤0,∴n≤,∵n∈N*.∴前6项均为负值,∴Sn的最小值为S6