高中数学第二讲证明不等式的基本方法22综合法与分析法222分析法课堂导学案

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1、2.2.2分析法课堂导学三点剖析一，利用分析法证明不等式【例1】⑴设a>b>0,求证：/a-b>[a-y[h.Of(2)已知0换-臥Va>b>0,有冯a-b>0,需证(习ci_b)”〉([ci—■yfb)3,展开得a-b>a-3需爲+3畅7-h,即证明3畅(丽一亦)>0,也就是证勿方-扬>0,在题设条件下这一不等式显然成立，・••原不等式成立.a(2)要证2sin2aWcot—,2lil00,只需证2sina•sin2aWl+cosa,即证明4sin2acosa-(1+

2、cosa)WO,也就是证(1+cosa)[4(l-cosa)cosaT]WO,而1+cosa>0,于是只要证-4cos2a+4cosaTWO,即-(2cosa-l)yo,就是(2cosaT)~$0,这是显然的.a7i2sin2aWcot—,等号在2cosa=1,a=—时取得.23各个击破类题演练1若a,b,c三数均大于1,且ab=10,求证：logac+logbC^41gc.证明：由于a>l,b>l,要证logac+logbc^41gc,需证上£+出~>41gc,lgdIgb而lgc>0,因此只要证丄+丄24,Igogb即证吐込4.lgolgbTab二10,Wlga+lgb=l

3、,于是只需证lga・lgbW丄,4而lga・lgbW（座如）』.24・：不等式10gaC+10gbCM41gC成立.变式提升1己知a>0,—-—>1,求证：Jl+Q>-/.baJl-b证明：要证丿苻万>「丄，只要证JE,即证(1+a)(l-b)>l,就是证a-b-ab>0.①而己知条件a>0,丄-丄〉1b>0,且a-b>ab,可知①式成立，baJl+d>—[成立.二、分析法和综合法的综合运用4【例2]a>0,b>0,aHb,且a3-b3=a2-b2,求证:ll是件容易的事，如何证a+b<-呢?用综合法难以下手,3我

4、们用分析法来证.证明:*/a3-b3=a2-b2,a2+ab+b2=a+b(VaHb).①(a+b)2=a2+2ab+bJ>a2+ab+b2=(a+b)..a+b>l.②…•4要证a+b<—,需证3(a+b)<4,3于是证3(a+b)2<4(a+b).又由①式可知，必须证3(a2+b2+2ab)<4(a2+ab+b2),然后证a-2ab+b2>0,即证(a-b)2>0,而这一结论在aHb时是恒成立的.4a+b〈一.③34由②③知l

5、1125设a+b=l,且a>0,b>0,求证：(a+—)2+(b+—)2^——.ab21125证明:要证(a+—F+(b+—)空一，25一24+1一夕1_戾17一2>一a只要证(『+/)+(丄+a只要证(a2+b2)+(+・・・*(旦)2」，24—/.——+―—2—abcrb~ab又・・・『+»空(a+疔二丄，221117・・・(a2+b2)+(-l7+4)^—・/b22I

6、25・•・(a+—)+(b+-)2^——.ah2当且仅当8二b吋，取等号.变式提升21I已知x>0,y>0,求证：(x2+y2)2>(x3+y3)3.证法一：要证(x2+y2)2>(x3+y3)',只要证(x

7、?+y2)‘>(x3+y3)2,即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>x64-2x3y3+y6.Vx>0,y>0,即证3x2+3y2>2xy,V3x2+3y2>x2+y2^2xy,即3x2+3y'>2xy,丄】:.(x2+y2)>(x3+y3)亍・以上证法显然是分析法.倒着写回去就是综合法.证法二：由x>0,y>0,3x2+3y2>x2+y22xy,即3(x2+y2)x2y2>2xy・x2y2.•I3xly2+3x2yl>2x3y3.两边都加上x6+y6,得x6+y6+3x4y2+3x2y4>x6+y6+2x3y3,B

8、J(x2+y2)3>(x3+y3)2.丄两边开6次方得(x

9、2+y2)2>(x3+y3)5.三、多种证明方法的比较【例3】已知a>0,b>0,求证：,——H—7=»^~CL+y[b.Jbyja分析—•:比较法是证明不等式的最基本的方法.作差后，注意到纟—丽=昭•斗—五=¥，提出公因式4一b,即可证明此不等式.证法Va>0,b>0,-(—j=—-fb)+(,———y[ci)a-bb-ay[b+yfu{a-b)(y[a-4b)4ab(V^+y[b){y[ci—y[b)~4cib20..ab・・乔+石ny[ci+y[b・分析二:此不等式屮含有