Hölder不等式的几种推广及其应用

《Hölder不等式的几种推广及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、毕业设计文献综述信息与计算科学Hölder不等式的几种推广及其应用众所周知,不等式理论是数学理论中一个重要的组成部分,它蕴涵于数学的各个领域.柯西在1931年研究“留数”问题时得到了以其名字命名的不等式.即我们平常所说的柯西不等式.这是一个完美的不等式,它结构对称,能简单快速地解题,自被提出以来便深受人们的喜爱.它还与矢量、内积空间、赋范空间等密切联系.它的几何意义为两线段夹角的余弦的平方取值范围:.Cauchy不等式的变形从直观上来说就是向量和的三角不等式.Cauchy不等式保证在中可以定义角的概念,并且保证在中,关于距离的“三角不等式”是正确的.那么我们就具备了在

2、中建立n维解析几何的基础.柯西不等式着有深刻的背景和广泛的应用,其一般形式的一个推广形式为:该不等式即为本文所要研究的Hölder不等式.Hölder不等式最初是以数列形式给出的,后来由F.Riesz将其推广到积分形式,成为建立空间理论的基本工具.它在许多领域都是应用广泛的基本不等式.1888年Roger给出了不等式上式中,且.1889年德国数学家Hölder给出了其证明.若则不等号反向,当且仅当或为零数列,或存在两个不不同时为零的非负常数使得时等号成立.Hölder不等式是基础数学理论中的重要不等式,即使在数学分析、实变函数论、泛函分析,乃至中学数学中都有它的证明和

3、应用.Hölder不等式通常以两种形式出现.一种是上述的离散形式,而另一种是连续形式.其连续形式为:,其中,,,.Hölder不等式是数学分析中最有用的不等式之一,是数学理论中的一根重要支柱和实际应用的重要工具.自Hölder不等式被提出以来,众多学者对它进行了证明,并不断地对它进行推广和改进,同时也有的学者考虑从其它不同的角度来研究Hölder不等式:寻找Hölder不等式的构成函数,使得此构成函数具有单调性.Hardy等在名著不等式中再三强调Hölder不等式和Minkowski不等式“极为重要”和“到处都要用到”,这两个不等式和AG不等式就构成了[6]中前面6章

4、的主题,占了全书一半以上的篇幅.一个世纪以来,这两个不等式的改进和推广工作从未没有中断.1981年胡克教授发表在中国科学上的论文“论一个不等式及其若干应用”针对Hölder不等式的缺陷提出了一个全新的不等式,被美国数学评论称之为“一个杰出的非凡的新的不等式”,现称为胡克(HK)不等式.胡克教授对这个不等式及其应用作了系统而深刻的研究.胡克不等式:设,,,,则1986年邱福成将Hölder不等式推广到正线性算子上去,称为线性算子的广义Hölder不等式:设为正线性算子,,,,,,则对中几乎所有的,有下面的不等式成立:1993年J.E.Pecaric证明了Hölder不等

5、式的单调性质.近些年来,我国的许多学者也在Hölder不等式这个领域有诸多建树,如刘证、高明哲等人提出了Hölder不等式各种新的推广形式,并给出了详尽的证明.他们的这些研究对于Hölder不等式的发展,对于数学的发展都有重要意义.Hölder不等式存在各种各样的推广形式.在弱空间上Hölder不等式的推广形式如下:设是测度空间上的弱空间上的可测函数,这里且.令.则.在一般度量空间上Hölder不等式的推广形式如下:设是任意测度空间上的非负可测函数,,,且满足,则.Hölder不等式的其它推广形式,如:设,,其中.则有以下Hölder不等式的推广形式:,.Hölder

6、不等式在数学应用上有着重要的意义,可以做各种各样的估计,例如偏微分方程中的先验估计等.参考文献[1]程其襄,张奠宙,魏国强等. 实变函数与泛函分析基础 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[2]刘炳初. 泛函分析 [M].11. 北京: 科学出版社, 2007.[3]O.Hölder.UebereinenMittelwertsatz[J].CöttingerNachrichten.1889,38-47.[4]陆善镇, 王昆杨. 实分析（第二版）[M]. 北京: 北京师范出版社, 2001.[5]高丽.Hölder积分不等式的几种证明方法[J].延安大学学报,

7、1995,17(1):70~73.[6]哈代等.越民义译. 不等式[M]. 北京: 科学出版社, 1965.[7]胡克.论一个不等式及其若干应用[J].中国科学,1981,(02):147~148.[8]匡继昌.常用不等式(第三版)[M].山东:山东科技出版社,2003.[9]L. Grafakos. Classical and modern Fourier analysis[M].Newjie:PrenticeHall,2004.[10]叶耀军,王建平.一类非线性Schrödinger方程的整体解和自相似解[J].系统科学与数学,2008,28(6