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1、Hölder不等式的几种不同形式及其证明和应用SeveralHölderinequalitiesandtheirproofsandapplications专业:数学与应用数学作者:指导老师:二○一一年五月摘要在初步掌握了Hölder不等式的基础上，我们进一步对Hölder不等式的几种不同的形式给出了证明.通过证明,进一步掌握好Hölder不等式,并为其在各个领域的应用打下好的基础.关键词:Hölder不等式;Young不等式;Hölder不等式的几种形式;证明方法;推广及应用IIAbstractAftermasteringseveralinequalities,wefu
2、rthergivetheirproofs.Bythis,wefurthermastertheHölderinequalityanditsapplications.Keywords:Hölderinequality;Younginequality;severalHölderinequalities;themethodofproof;extensionandapplicationII目录摘要IABSTRACTII0引言11预备知识12Hölder不等式的几种不同形式及其证法52.1Hölder不等式的离散形式及其证法52.2Hölder不等式的积分形式及其证法72.3Höl
3、der不等式的概率形式及其证法93Hölder不等式的推广及应用103.1Hölder不等式的推广．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．103.2Hölder不等式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11参考文献140引言Hölder不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科的研究中发挥了重要作用,使用的技巧灵活多样,得到的结果极为深刻.然而在数学知识体系中Hölder不等式的证明出现较晚,限制了它的早期传播和使用.于是,首先我们给
4、出了几条常用的定理以及某些定理的证明,根据这些重要定理与初等数学之间的联系以得到Hölder不等式的几种不同形式的证明;其次,Hölder不等式又经常以另外两种形式出现.一种是离散量的形式,另一种是连续量的形式.本文中通过借助三个引理,在给定条件下,先后证明了离散形式的Hölder不等式及积分形式的Hölder不等式;再次,由于随机不等式是不等式领域的重要组成部分,这种类型的不等式在许多方面都有着重要的应用,特别是在概率论与数理统计领域中的作用突出.因此,我也给出了Hölder不等式的概率形式的证明.Hölder不等式的不同形式的证明及其推广,可使此不等式就能在初等数学
5、阶段中给予介绍,有利于传播和使用,并能揭示相关结果的本质,再充分发掘利用此结果,能使许多问题得到新的简单而又直接的解决,体现数学的威力,训练使用这些知识的技巧和能力,能为以后的发展奠定基础.总之,著名的Hölder不等式在分析学中起着非常重要的作用,它的证法与推广能解决很多实际问题.在已有结论的基础上对Hölder不等式进行证明,推广及应用做了一些初探,探求多种简洁的证明方法、推广形式,通过对其不同形式的证明,探索出了一些不等式证明的途径和相关技巧,并通过对其在不同程度的推广,加强了对Hölder不等式的应用.1预备知识为了方便证明,本文先给出一些必要的引理．1.1（引
6、理1）设不全相等且，则即第14页共14页1.2(引理2)1.3(引理3)设那么对于有（时，等号成立）.证明:考察函数我们发现又由于当时，函数在上是减函数.所以，因此，当时不等式成立.当时，函数在上是增函数.所以，因此对一切不等式成立.由此引理得证.1.4(引理4)（基础关系式）设则(1)证明：若中有一个0,则（1）式显然成立.设均不为零,将（1）式两边同时处以,得第14页共14页令则上式变为（2）所以,我们只需证明（2）式成立就可以了.令，则令得对再求导,得以代入的表达式中,得则是的极大值点.故是函数在上的最大值.所以，当时成立,从而（1）式成立.证毕.设由引理4的不等
7、式可以得到这个不等式对任何都成立,同时这个不等式是引理1的二元形式.1.5(引理5)（Young不等式）设且则以下不等式成立：当且仅当等号成立.证法一：当时,以上不等式显然成立.第14页共14页当时,令则其次,对于上式两端同时乘以有由可得所以证毕.证法二：考察函数显然是凸函数.因此，1、当时，上式不等号是由于凸函数的性质.2、当时，显然有由上述1和2,引理5得证.1.6(引理6)若在上连续,将等分(分点包括两端点)，有记等分的每个小区间长度为而则有：证明：由得又由在上连续，在上存在定积分，第14页共14页而是在上的“积分和”的一种特殊情况
