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1、Gronwall不等式的推广及其应用摘要：本文主要研究了Gronwall不等式的性质,将Gronwall积分不等式中的非负常数推广为非负变量函数;利用Gronwall积分不等式建立了函数矩阵中的一个Gronwall型积分不等式,并由此证明了一阶微分方程及一类函数矩阵微分方程解的唯一性.关键词：Gronwall不等式;一阶微分方程;函数矩阵微分方程.ThePromotionandApplicationofGronwallInequalityAbstract：Inthispaper，westudythepropertyofGronw
2、allinequality,andgetanewinequalityaboutGronwallinequalityinsteadwith.Furthmore,wegetanotherGronwallinequalityinfunctionalmatrix.Finally,wegettheuniquenessofsolutioninsomeFirstorderdifferentialequationandFunctionmatrixdifferentialequation.Keyword:Gronwallinequality;Fi
3、rstorderdifferentialequation;Functionmatrixdifferentialequation目录1.前言………………………………………………………………………………………12.Gronwall不等式证明……………………………………………………………………13.Gronwall不等式的推广…………………………………………………………………23.1非负变量下的Gronwall不等式……………………………………………………23.2函数矩阵范数的Gronwall不等式………………………………………………
4、…34.Gronwall不等式的应用…………………………………………………………………44.1一阶微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性问题………………54.2函数矩阵微分方程解的唯一性……………………………………………………6Gronwall不等式的推广及其应用1.前言在数学中,Gronwall不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数,有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式.Gronwall不等式常常被用来估计常微分方程解的取值范围.比如,它可以用来证明初值问题的解的唯一性.Gronwall不等式的微分
5、形式首先由Gronwall在1919年证明.而积分形式则是由RichardBellman在1943年证明.Gronwall是一位瑞典的数学家,后来移居美国.由于本文只介绍Gronwall不等式的积分形式,故其微分形式再不做介绍.本文用两种不同的方法证明了Gronwall不等式,并给出两个相关的结论.最后给出Gronwall不等式在常微分方程中的应用.2．Gronwall不等式的证明定理2.1(Gronwall不等式)设为非负常数,和为在上的连续非负函数,且满足不等式+,则有,证明方法一:设,则.用乘不等式的两边得,即,再用乘上式
6、两边,得,,7,两边从到积分,,并由,得,所以.方法二:当时,由条件不等式得,两边从到积分,得.由上式和条件不等式知当时,这时条件不等式变为,结论变为.事实上,对,成立,从而由可知,而由得任意性可知.综合、可知推论若,和为在上的连续非负函数,且满足不等式,则有.3．Gronwall不等式的推广73.1非负变量下的Gronwall不等式在上述讨论中,“非负常数”这个条件可以放宽,下将改为非负函数,可得如下结果：定理3.1设为上的连续非负函数,满足且小于无穷.则：.证明：由题意可知：,(1)令,给(1)两边乘以可得,所以有.从而上述
7、命题得证.3.2函数矩阵范数的Gronwall积分不等式7设,定义3.2.1矩阵上称为连续的,如果都是在区间上的连续函数.定义3.2.2矩阵上称为可微的,如果都是在区间上是可微的.定义3.2.3矩阵上称为可积的,如果都是在区间上可积的.定义3.2.4对于和n维向量,我们定义范数:;,设;.;.7由上面不难可以得到函数矩阵范数的Gronwall型不等式.定理3.2设为非负常数,是闭区间上的连续、可微、可积函数矩阵,且满足不等式,则特别当时,有,推出,推出证明:因,由已知和范数的性质有,由定理2.1推出：.当时,有,推出推出,推出.
8、4.Gronwall不等式在常微分方程中的应用4.1利用定理2.1证明一阶微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性问题定义4.1函数满足Lipschitz条件,如果存在常数,使得不等式,对于所有都成立.L称为Lipschitz常数.7定理4.1已知初值
