高考数学常用的解题技巧第04讲分离函数法

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1、第04讲：分离函数法【知识要点】riY^-4-/?V4-C1、在高中数学解题过程中，对于某些形如/(X)=的分式函数，经常要分离函数，把数学问题转化的简单易解.24-hx4-C2、形如f(x)=的分式函数，如果分子分母最高次数相同，分离出来的常数为最高次数的dx~+欲+/系数比；如果分母的最高次数比分子的最高次数低，可以直接利用竖式除法分离；如果分母的最高次数比分子的最高次数高，可以直接把分式的分子分母同时除以分子，再分离，再解答.【方法讲评】【例1】已知函数f(兀)=10g3上丄・+X(1)求函数/(兀)的定义域；(2)判断函数/(兀)的奇偶性；(3)当兀w丄，丄时

2、，函数g(x)=f{x),求函数g(x)的值域.22—X+x【解析】⑴由戶AO得贝U函数/s的定义域为(—1月.1+x1+x(2〉当xe(-l.l)时，/(-x)=log3——1—X因此，函数/(X〉是奇函数./、n1—兀—(X+1)+22(3)设尹=——=———-一=-1+——，1+xx+1x+1因为——是减函数，所以丁=-1+——是减函数，则函数y=—在区间-一，一上是减函数，故x+1x+11+xL22」函数g(x)在区间制上也是减函数.11A则g(X)nwc=g一厅=1'«?(Qnin二

3、于形如0=2十必十°的函数，-・般利用分离函数方法分离，再解答.如果分子dx^+ex+f1—Y分母最高次数相同，分离出来的常数为最高次数的系数比・「的分子分母最高次数都是“1S所以分离1+X1-Y2出来的常数为它们的系数比“-1”.（2）把——分离成-1+——，再利用复合函数的单调性来分析就1+x兀+1简洁多了.【反馈检测1】已知数列｛弘｝的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足a2+a3=a4,an=a3+a4,记bn=a2n_｝（neN"）（1）求数列｛仇｝的通项公式；2（2）设数列｛'「［亿+的前2014项和为7；014,求不超过7；。

4、

5、4的最大整数.叱+俵【例2】已知x>l,求/（兀）=兰竺的最小值.x-1【解析】/(x)=/+2_&-2k+1)+2x-l+2_Qc-1F+2x—2+3x—1x—1x—1(“l)+<—)+32+丄JC-1x-1x>1J.x—1>0/(x)=(x-l)+2+-^>2J("1)吕+2--/(x)>2^+2fx>2当且仅当/3即*1+府寸取到最小值2+2^5.(兀一1)=—7X—1【点评】(1)本题也可以利用导数来求函数的最值，但是利用基本不等式效率要稍微高些.(2)要利x2+2用基木不等式关键是化简变形，使它满足“一正二定三相等”•怎么化简呢？对于形如/(兀)=—的函X-1

6、数，一般先把分子配方配岀(X-1)2,好和分母相约，再把分子的后面的一次项配出(X-1),好和分母相约.最后结果的形式/•(兀)=(兀-1)+丄+2自然可以利用基本不等式了.(3)由于已知条件里有%>1,所以x-1x-1>0,所以联想到利用基本不等式求函数的最值.在平时的学习过程中，大家要注意观察想象，提高自己的反应能力.Sr2_4r+5【反馈检测2】已知x>-,求函数f(x)=-——的最小值.22x-4A.(学53B.(-°°,-)U(5,+oo)D.(一汽3)【反馈检测3】定义在R上的函数/（兀）满足/（4）=1,已知/（兀）的导函数/心）的图象如图所示，若两个正数

7、a、b满足/（2a+b）vl,则"+"+'的取值范围是（）高中数学常用解题技巧第04讲：分离函数法参考答案【反馈检测1答案】（1）bn=n；（2）2014.【反馈检测1详细解析】（1）设奇数项构成等差数列的公差为d,偶数项构成的等比数列的公比为q,由a2+a3=a4,a}l=a3+a4,得(?)切：+仇+1二7?+斤+1bj+»n2+n3+d"q,解得〃=],q“,则a.n1=l+(/?-l)xl=n,q=2d1+J—=1+—=1+--一—n+n«(«+!)n〃+l2则数列｛诜1｝的前叫项和为^014=(1+1-£)+(1+£-£)++(1+1120142015)=20

8、15-12015则不超过抵14的最大整数为2014・【反馈检测2答案】1【反馈检测潭田解析】“弓*24x2—4兀+521x-21当且仅当一=,即兀=3时，上式等号成立.因为x=3在定义域内，所以最小值为1.22(兀一2)【反馈检测3答案】C【反馈检测3详细解析】由/'(兀)的图象知，/(兀)在(—,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，又・・・y*(2d+b)vl且/(4)二1所以2a+bv4,2伉+/?v4・・・么b满足｛d>0画出可行域为AOAB内部，如图所示：b>