高考数学常用的解题技巧第05讲分离参数法

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1、第05讲：分离参数法【知识要点】一、参数在数学问题中经常出现，特别是在最值、值域、取值范围、恒成立和存在性等问题中，经常出现，这时可以考虑是否可以利用分离参数法来解答，即整理成k=f(x)或的形式，再解答.二、分离参数时，一定要判断清楚参数的系数的符号，再除以其系数，如果不能确定其符号，可以分类讨论，也可以寻找其它方法.【方法讲评】【例1】已知函数/(x)=x-1-lnx(1)求曲线=f(x)在点(2,/(2))处的切线方程；(2)求函数于(兀)的极值;(3)对Vxg(0,+oo),/(x)>/?x-2恒

2、成立，求实数b的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为(Q+

3、(x-2),£艮卩兀一2y-2hi2=0,(2)令=得*1,列表：X(0,1)1(l,+oo)f(兀)—0+/(X)07・•・函数)y/(对的极小值为/(1)=0,无极大值。(3)依题意对Vxe(0,+oo),/(x)>bx-2恒成立等价于x-l-lnx>Z?x-2®(0,+oo)上恒成立可得b<+丄-旦在(0,+oo)上恒成立,XX.『、(1

4、lnx令g(x)=i+XX令如=0,得丸"列表：X(2)(f3-h»)£‘(兀)—0+X/二函数y=如的最小值为g(e2)=1一；，根据题意，^<1-4・&【点评】本题第(2)问是恒成立问题，刚好b的系数X是一个正数，知道参数的系数的符号，分离参数很方便，所以可以分离参数求最值，比较简洁.【反馈检测1】己知函数/(x)=ln^--.X(1)若a>0,试判断/(劝在定义域内的单调性;(2)若/(%)在［1,可上的最小值为孑，求。的值；(3)若/(X)

5、已知函数/(x)=asina)x+bcoscox(a,beR,且69>0)的部分图象如图所示.(1)求a.b.co的值；⑵若方程3[/W]2-/(x)+/n=0在xg(-彳，耳)内有两个不同的解，求实数加的取值范圉.高屮数学常用解题技巧第05讲：分离参数法参考答案【反馈检测1答案】(1)/(兀)在(0,+8)上是单调递增函数；(2)a二宾；(3)a>-.【反馈检测1详细解析】(1)由题意知/(兀)的定义域为(0,+oo),且f(x)二丄+马二兰学，a>0,,XX・・・广（兀）>0,故/（兀）在（0,4-

6、00）上是单调递增函数（2）由（1）可知，广（兀）二中.①若^>-1,则兀+。二0,即广（刃£0在［1司上恒成立，此时/（刃在［“］上为増函数,・・・/（兀）罰弍1）=~1=亍二a•二㊁涪去）②若a<-^,^x+a<0,即广（兀）<0在［1彳上恒成立，此时/（兀）在［匕司上为减函数,・・・/（兀）罰司》=1上=寸,二3=+（舍去）Q22③若p0,/./(x)在(-a,

7、e)上为增函数,于(兀)伽二f(-^)=ln(-a)+1=—,a=-Ve.综上所述，a=-fe2(3)Vf(x)0,.a>xlnx-x3,1-6兀2兀x令g(兀)=xlnx-x3,/?(x)=g'(x)=l+/nx-3x2,A,(x)=——6x='：XG(1,+°°)时,Az(x)

8、，/（X）<兀2在兀w（1,4-00）上恒成立.【反馈检测2答案】（1）69=1,0=丄,b=；（2）一2<加W0或加=丄.2212【反馈检测2详细解析】(1)f(x)=asina)x+bcosa)x=la2+b~sin(69x+^)7T由图像可知函数周期为卩二——=-x4=2^,得0)=co2解得T冲f(x)=gsinx+^^cosx=siu(x+y):xE(—y:令t=fix)e(OJ],则原方程可以变为3尸-f+加=0在(Q1)上有一个根、即用=-3尸+f在(0,1)上有一个根由二次函数y=-^

9、2+/图像可知