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《高等数学(同济大学版)课程讲解18函数的连续性与间断点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、课时授课计划课次序号：06一、课题：§1.8函数的连续性与间断点二、课型：新授课三、目的要求：1.理解函数在一点连续、左右连续及区间上连续的概念；2.会判定函数间断点的类型；四、教学重点：连续的概念与间断点类型的判定.教学难点：间断点类型的判定.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合.六、参考资料：1・《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育岀版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社.七、作业：习题1-82(1),3八、授课记录:授课日
2、期班次九、授课效果分析:第八节函数的连续性与间断点复习1•极限的存在准则：夹逼准则、单调有界准则；2.两个重要极限：lim竺兰=1,lim(l+-)r=e或lim(l+x)7=e；X—>0X大T8兀大一>03.无穷小的比较：高阶、低阶、同阶、等价、k阶；4.等价无穷小替换求极限的方法.前面我们已经讨论了函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性等，在实际问题中，我们遇到的函数常常具有另一类重要特征，如运动着的质点，其位移s是吋间t的函数，吋间产生一微小的改变时，质点也将移动微小的距离(从其运动轨迹來看是一
3、条连绵不断的曲线)，函数的这种特征我们称之为函数的连续性，与连续相对立的一个概念，我们称之为间断.下面我们将利用极限来严格表述这个概念.一、函数的连续性1・函数在一点连续定义1设函数f(x)在也的某邻域UGo)内有定义，且有lim/(x)=/(x0),则称函数/(Q在点也连续,兀0称为函数上(兀)的连续点・例1证明函数/(x)=3x2-1在x=l处连续.证因为/(I)=3x1—1=2,且lim/(x)=lim(3x2-1)=2,故函数/(x)=3x2-l在x=lxtIxtI处连续.例2证明函数)才&
4、)=1兀丨在r=0处连续.证因为y=f(X)=IX丨在40的邻域内有定义，且f(0)=0,lim/(X)=limx=lim[x^=0.xtOxtO兀tO由定义1可知，函数J-/'(x)=Ix丨在天=0处连续.在工程技术中常用增量来描述变量的改变量.设变量«从它的一个初值妁变到终值地，终值血与初值妁的差u2-u｝称为变量”的增量，记为△“，艮卩△u="2-变量的增量可能为正，可能为负，还可能为零.设函数/&)在”(如)内有定义，若Xet/(x0),则△jm—M)称为自变量兀在虽Q強的壇量.显然,x=
5、x()+Axf此时，函数值相应地由f(%o)变到f(x),于是y=f(x)-f(xo)=f(Xo+Ax)~f&o)称为函数f(x)在点xo处相应于自变量增量Ax的增量.函数f(x)在点Xo处的连续性可等价地通过函数的增量与自变量的增量关系来描述.定义2设函数/(X)在"(x。)内有定义，如果当自变量的增量心趋于零时，相应的函数的增量△尸/(也+心)~f(兀0)也趋于零，即limAy=0,则称函数f(x)在点x0AytO处连续.2.左右连续(单侧连续)我们曾讨论过xtxo吋函数的左右极限，对于函数的
6、连续性可作类似的讨论.定义3设函数f(x)在U(x~)(或(/«))内有定义，且有lim/(x)=f(xQ)(或limf(x)=/(x0)),XT心XT心则称函数/(x)在点也是左(右)连续的.函数在点兀0的左、右连续性统称为函数的单侧连续性.由函数的极限与其左、右极限的关系，容易得到函数的连续性与其左、右连续性的关系.定理1/(X)在点也连续的充要条件是.f(X)在点心左连续且右连续.[r24-3r>0例3设函数f(x)=~，问。为何值时，函数)h(Q在点小0处连续？[Q-X,XV0解因为f(0)
7、=3,且lim/(x)=lim(a-x)=a,limf(x)=lim(x2+3)=3,xt(fxt(fx-»o+x->o+故由定理1知d=3时，)才(x)在点a-=0处连续.—1,兀v0,例4设函数/(%)={'试问在也=0处函数/(兀)是否连续？l,x>0,解由于/(0)=1,而lim/(%)=-1,于是函数f(x)在点小0不是左连续的，从而xt(t函数/(%)在*0处不连续.2.区间上连续定义4若函数y=f{x)在区间(a,b)内任一点均连续，则称函数(兀)在区间(G必内连续,记为/(x)ec(
8、d,b).若函数)=f(兀)不仅在(Gb)内连续，且在d点右连续，在b点左连续，则称)h&)在闭区间B，刃上连续，记为/(x)ec[q,刃.半开半闭区间上的连续性可类似定义.函数尸/(X)在其连续区间上的图形是一条连绵不断的曲线.例5证明函数)=3<_5x+3在(yc,+8)内连续.证设卫)为(Y),+8)内任意给定的点，由极限运算法则可知limy=limf(x)=lim(3x2-5x+3)=3x0-5x0+3=/(x0),X—>X0XTX。故)=3,_5x+3在点x
