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时间:2019-09-08
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1、高中导数经典知识点及例题讲解 §变化率与导数变化率问题 自学引导 1.通过实例分析,了解平均变化率的实际意义. 2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率.课前热身 Δy1.函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为=________. ΔxΔy 2.平均变化率另一种表示形式:设Δx=x-x0,则=________,表示函 Δx数y=f(x)从x0到x的平均变化率. 答案fx2-fx11.x2-x0+Δx-fx0Δx 名师讲解 1.如何理解Δx,Δy的含义 Δx表示自变量x的改变量,即Δx=x2-x1;Δy表示函数值的改变量,即Δy=f(x2)-f(x1).
2、 2.求平均变化率的步骤 求函数y=f(x)在[x1,x2]内的平均变化率.(1)先计算函数的增量Δy=f(x2)-f(x1).(2)计算自变量的增量Δx=x2-x1. Δyfx2-fx1 (3)得平均变化率=. Δxx2-x1 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势,且区间长度越小,表现得越精确.如函数y=sinx在区间[0,π]上的平均变化率为0,而在 π sin-sin0 2π2 [0,]上的平均变化率为=. 2ππ -02 在平均变化率的意义中,f(x2)-f(x1)的值可正、可负,也可以为零.但Δx=x2-x1≠0.
3、 1 典例剖析 题型一求函数的平均变化率 例1一物体做直线运动,其路程与时间t的关系是S=3t-t2.(1)求此物体的初速度; (2)求t=0到t=1的平均速度. 分析t=0时的速度即为初速度,求平均速度先求路程的改变量ΔS=S(1) ΔS-S(0),再求时间改变量Δt=1-0=1.求商就可以得到平均速度. ΔtS3t-t2 解(1)于v===3-t. tt∴当t=0时,v0=3,即为初速度.(2)ΔS=S(1)-S(0)=3×1-12-0=2Δt=1-0=1 ΔS2 ∴v===2. Δt1 ∴从t=0到t=1的平均速度为2. 误区警示本题1不要认为t=0时,
4、S=0.所以初速度是零. 变式训练1已知函数f(x)=-x2+x的图像上一点(-1,-2)及邻近一点 Δy(-1+Δx,-2+Δy),则=() ΔxA.3 B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2 D.3-Δx 解析Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)-(-2)=-(Δx)2+3Δx. Δy-Δx2+3Δx∴==-Δx+3ΔxΔx答案D 题型二平均变化率的快慢比较 πππ 例2求正弦函数y=sinx在0到之间及到之间的平均变化率.并比 632 较大小. 分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率,再比较大小. π 解设
5、y=sinx在0到之间的变化率为k1,则 6 2 π -sin063 k1==.ππ-06 ππ y=sinx在到之间的平均变化率为k2。 32 sinsin 则k2= ππ3-sin1-23232-3 ==.ππππ-236 332-333-1 ∵k1-k2=-=>0。 πππ ∴k1>k2. π3ππ 答:函数y=sinx在0到之间的平均变化率为,在到之间的平均变6π3232-3332-3 化率为,且>.πππ 变式训练2试比较余弦函数y=cosx在0到化率的大小. π cos3-cos0 π 解设函数y=cosx在0到3之间的平均变化
6、率是k1,则k1=π=-3-032π. ππ 函数y=cosx在3到2之间的平均变化率是k2, ππ-cos233 则k2==-. πππ-23333 ∵k1-k2=--(-)=>0。 2ππ2π ∴k1>k2. πππ ∴函数y=cosx在0到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化 332 率. 题型三平均变化率的应用 例3已知一物体的运动方程为s(t)=t2+2t+3,求物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度. cos πππ 之间和到之间的平均变332 3 Δs分析物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→Δt解物体在t=1到t=1+Δt这
7、段时间内的位移增量Δs=s(1+Δt)-s(1) =[(1+Δt)2+2(1+Δt)+3]-(12+2×1+3)=(Δt)2+4Δt. 物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为 2 ΔsΔt+4Δt =4+Δt. Δt=Δt 变式训练3一质点作匀速直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,该质点在[2,2+Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5,求Δt的取值范围. 解质点在[2,2+Δt]上的平均
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