中国古代算法案例1

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1、1.3中国古代数学中的算法案例我国人民在长期的生活，生产和劳动过程中，创造了整数、分数、小数、正负数的概念及其运算，在代数学、几何学等方面，我国在宋，元之前也都处于世界的前列。我们在小学、中学学到的算术，代数，从记数到多元一次联立方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的。更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色，也就是“寓理于算”，即把解决的问题“算法化”。35915[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？183023∴18和30的最大公约数是2×3=6

2、.先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.[问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数?1、求两个正整数的最大公约数的算法我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；

3、判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。更相减损术例1用更相减损术求91与49的最大公约数.解：由于49不是偶数，把91和49以大数减小数，并辗转相减，即：91－49＝4249－42＝742－7＝3535－7＝2828－7＝2121－7＝1414－7＝7所以，91与49的最大公约数是7。更相减损术练习1用更相减损术求98与63的最大公约数.解：

4、由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35;63－35＝28;35－28＝7;28－7＝21;21－7＝14;14－7＝7.所以，98与63的最大公约数是7。练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。(12)我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率∏，用刘徽自己的原话就是：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这段注文充分说明了刘徽对极限概念.他的思想后来又得到祖冲之的推进和发展，计

5、算出圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位。2.刘徽割圆术2.刘徽割圆术一、刘徽首先指出利用π=3这一数值算得的结果不是圆面积，而是圆内接正十二边形的面积，这个结果比π的真值少.二、他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数加倍，逐个算出正12边形、正24边形、正48边形、正96边形……的面积，这些面积会逐渐地接近圆面积.最后求出圆面积的近似值。三、已知正6边形一边（恰与半径等长)即求得正12边形边长，…….由正12边形求正24边形一边之长时，刘徽反复地应用到勾股定理（或称商高、勾股定理），如图：割圆术。不断地利

6、用勾股定理，来计算正N边形的边长。刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。因为圆的半径为1，所以随着边数的增大，面积不断趋近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率近似值。祖冲之祖冲之:（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．圆周率是指平面上圆的

7、周长与直径之比。早在一千四百多年以前，我国古代著名的数学家祖冲之，就精密地计算出圆的周长是它直径的3.1415926---3.1415927倍之间。这是当时世界上算得最精确的数值----圆周率。“圆周率”是说一个圆的周长同它的直径有一个固定的比例。我们的祖先很早就有“径一周三”的说法，就是说，假如一个圆的直径是1尺，那它的周长就是3尺。后来，人们发现这个说法并不准确。东汉的大科学家张衡认为应该是3.162。三国到西晋时期的数学家刘徽经过计算，求出了3.14159的圆周率，这在当时是最先进的，但是刘徽只算到这里就

8、没有继续算。祖冲之打算采用刘徽“割圆术”（在圆内做正6边形，6边形的周长刚好是直径的3倍，然后再做12边形、24边形……边数越多，它的周长就和圆的周长越接近）的方法算下去。在当时的情况下，不但没有计算机，也没有笔算，只能用长4寸，方3寸的小竹棍来计算。工作是艰巨的，这时祖冲之的儿子也能帮助他了。父子俩算了一天又一天，眼睛熬红了，人也渐渐瘦了下来，可大圆里的边形却越画越多，3072边、6