1.3 算法案例(1)

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1、1.3算法案例最大公约数的求法1.回顾算法的三种表述：自然语言程序框图程序语言（三种逻辑结构）（五种基本语句）2.小学学过的求两个数最大公约数的方法？先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.思考(1)求两个正整数的最大公约数例.求30和75的最大公约数所以，30和35的最大公约数为15(2)除了用这种方法外还有没有其它方法？如何简洁的求8256和6105的最大公约数?303107525525开始i=m输入：m,nmMODi<>0或nMODi<>0?i=i-1输出：i结束NYm>n?t=m,m=n,n=tNY穷举法（也叫枚举法）步骤：从两个数中较

2、小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。A.穷举法Input“m,n=“;m,nIfm>nthenSwapm,nendifi=mWhilemmodi<>oornmodi<>0i=i-1wendPrintiendB.辗转相除法（欧几里得算法）下面我们介绍用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程第一步:用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步:对6105和2146重复第一步的做法8251=6105×

3、1+21466105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除

4、以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？辗转相除法（欧几里得算法）（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，

5、直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。（2）算法步骤第一步：输入两个正整数m,n(m>n).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.（3）程序框图（4）程序INPUT“m,n=“;m,nIfm

6、等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。例1用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝2114－7＝7所以，98和63的最大公约数等于7用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．练习：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数42、更相减

7、损术（1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。（2）算法步骤第一步：输入两个正整数a,b(a>b);第二步：若a不等于b,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果b>r,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二