1.3算法案例（1）

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1、1.3算法案例教学目标1、理解掌握辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法以及进位制的含义，了解他们的计算过程。2、提高学生的数学逻辑思维能力，发展有条理的思考与数学表达能力。3、了解古代著名的算法，培养学生的民族自豪感与爱国情怀，激发学生学习的热情。教学重难点重点：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法以及进位制的算法思想，辗转相除法与更相减损术的区别与联系。难点：1、如何选择辗转相除法与更相减损术。2、理解秦九韶算法的先进性。3、理解进位制的概念，不同进位制之间的转换。教学过程一、复习引入问题：求18与30的最大公约数通过该例来

2、回忆小学求最大公约数的方法，进而引入辗转相除法与更相减损术，以体现这两种算法的优越性。学生：21830391535所以18与30的最大公约数是2*3=6教师：若两个数的公共因子不容易发现，又如何求它们的最大公约数？二、新课讲解例如：求8251与6105的最大公约数分析：如果使用上述方法求最大公约数比较困难，因为我们很难发现这两个数字的公共因子，下面我们介绍一种古老而有效的算法——辗转相除法。这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的，因而又叫欧几里得算法。所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的

3、数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小的数就是原来两个数的最大公约数。用这一思想求解8251与6105的最大公约数8251=6105*1+21466105=2146*2+18132146=1813*1+3331813=333*5+148333=148*2+37148=37*4所以8251与6105的最大公约数是37.说明：这里学生可能要产生疑问：为什么37是8251与6105的最大公约数？教师稍做解释。比如由等式8251=6105*1+2146可知，8251与6

4、105的公约数和6105与2146的公约数相同，从而最大公约数相同，这样求8251与6105的最大公约数就转化为求6105与2146的最大公约数，如此继续下去，除到可以整除为止，即得最大公约数。辗转相除法用的是除法，我们也可以用减法来求两个数的最大公约数，这就是更相减损术。学生阅读课本36页更相减损术有关内容。所谓更相减损术，第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，

5、则这个数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。下面用一个例子说明这个算法。例1用更相减损术求18与30的最大公约数解：18与30都是偶数，先除以2，得到9与15，15-9=69-6=36-3=3直到2个小的数相等为止，因为开始18与30同时除以了2，所以最后用这两个相等的数字乘以2即3*2=6,6才是18与30的最大公约数。例2用辗转相除法与更相减损术求98与63的最大公约数解：辗转相除法更相减损术98=63*1+3598-63=3563=35*1+2863-35=2835=28*1+735-28=728=4*72

6、8-7=21最大公约数为721-7=1414-7=7最大公约数为7对比两种方法，前者的步骤更少，后者的步骤多，如果用更相减损术求例1，要用14步，所以在解题中选取哪种方法较为重要。案例2秦九韶算法例：求多项式当时的值学生自然而然直接将代入中，但是这样我们要做10次乘法运算，5次加法运算，有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了下面的算法。（计算时由内到外）所以，当时，多项式的值等于7031这个算法实际上是通过提取公因式将高次降低为低次，这样我们只需要算5次乘法，5次加法。从这里我们可以看出，要

7、算多少次乘法与最高次项的次数相同，要算多少次加法与加号的个数相同。课本38页的思考题，因为最高次项的次数为n，所以需要n次乘法运算，因为有n个加号，所以需要n次加法运算。案例3进位制1、我们平时最熟悉的进位制是十进制，十进制的数字由0-9这十个数字组成，教师：除了十进制，我们生活中还会出现什么进制？学生：每个星期从星期一到星期天再从星期一到星期天，这是七进制教师：七进制由那些数字组成？学生：0-6教师：在计算机中用的都是二进制，二进制由那些数字组成？学生：0,1从这几个我们生活中的例子，你能发现几进制（这个几叫做基数）的基

8、数与它所构成的数字间有什么联系吗？学生发现:十进制就是0-9，七进制就是0-7，二进制就是0-1，都是从0开始，到的数比基数小1.老师：那么五进制由什么数字组成？学生：0-4大于10的进制借助ABCDEF....这些字母来表示。比如《固学案》2、进位制的转换3721读作三千七百二十一，3表示3个1千，7