特征值与特征向量(I)

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1、特征值与特征向量一、特征值与特征向量的产生背景及定义二、特征方程与特征值及特征向量的计算三、矩阵的对角化四、复数特征值五、在差分方程中的应用特征值与特征向量线性方程组AX=b经常用来求解确定性问题，矩阵的特征值和特征向量经常用于分析和解释动力系统问题；使A(x)是X的一个倍数的非零向量x在研究一般矩阵或线性变换的结构中起着重要作用，而这样的向量出现在求具有一个几何约束条件的实对称二次型的极值的基本问题中关于特征值的几个结论特征方程λ是矩阵A的特征值当且仅当线性方程组(A-λI)X=0有非零解，而线性方程组(A-λI)X=0有非零解当且仅当其系数矩阵为奇异矩阵，一个矩阵为奇异矩阵当且仅当其行

2、列式等于零。由代数基本定理，特征方程在复数域中有n个根，我们称根的重数为特征值得代数重数，特征子空间的维数称为特征值的几何重数，几何重数不超过代数重数特征值为5,3,1，其中5是2重根解相似矩阵及相似标准型在有限维线性空间中，线性变换和矩阵一一对应，也就是说在n维线性空间中给定一个基，那么任意一个线性变换T，在该基之下一定对应(产生)一个n×n矩阵，反过来任意给定一个n×n矩阵一定对应(产生)一个线性变换。我们研究在有限维线性空间中，一个给定的线性变化T,它的表达形式什么情况下是简单的(相似标准型)给定的线性变换T在一个给定的基之下一定可以得到一个n×n矩阵，记作A，A的表达形式也许不简单

3、，但是A的所有特征子空间的基有可能就是原空间的基。分三种情况讨论：1、A有n个互不相等的特征值2、A的特征值个数小于n,但是特征子空间的维数之和等于n3、A的特征值个数小于n,同时特征子空间的维数之和也小于n由于在有限维线性空间中，一个线性变换T在不同基下的矩阵是相似的，因此，如果T在某个基下的矩阵A有n个互不相等的特征值，那么,线性变换T在由A的特征向量组成的基之下的矩阵就是对角矩阵，且该矩阵主对角线上的元素正好是A的特征值。即这时A相似于一个对角矩阵。1、A有n个互不相等的特征值2、A的特征值个数小于n,但是特征子空间的维数之和等于n这时A也相似于T在由特征向量构成的基之下的矩阵，该矩

4、阵仍然是对角矩阵，主对角线上的元素仍然是A的特征值，只是出现的次数等于其代数重数（也就是几何重数）3、A的特征值个数小于n,同时特征子空间的维数之和也小于n约当(Jordan)标准型如何求出矩阵的Jordan标准型，涉及到矩阵多项式(λ-矩阵)的理论