特征值与特征向量(2)

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1、中南财经政法大学信息系第一节方阵的特征值与特征向量第五章矩阵的特征值与特征向量定义5.1设n阶方阵（1）称为A的特征矩阵；（2）称（5.3）为A的特征多项式；（3）称A的特征多项式的根，即的根为A的特征值；（4）若是的某个特征值，则称齐次线性方程组（5.4）的非零解为A的属于特征值的特征向量。称此齐次线性方程组的任意一个基础解系为A的属于的极大无关特征向量组。求方阵的特征值与特征向量的方法：第一步：求出A的特征多项式；第二步：求出代数方程的n个根，即得A的n个特征值（其中可能出现重根，包括重根在内共有n个）；第三步：对每个特征值，求出齐次

2、线性方程组的基础解系，即属于的极大无关特征向量组：；第四步：作线性组合（不全为零），它就是A的属于的全部特征向量。解例1例2求3阶方阵的特征值与特征向量。解：A的特征多项式为：故A的特征值为：（二重）。对于而言，求解齐次线性方程组即得它的一个基础解系：故A的属于的所有特征向量为对于而言，求解齐次线性方程组即得它的一个基础解系：故A的属于的所有特征向量为（不全为零）练习题求A的特征值与特征向量．解得基础解系为：性质1属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．性质2矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征

3、值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．特征值和特征向量的性质性质3证明：用归纳法证明，时，一个非零向量必定线性无关，结论成立。当时(5.8)将（5.8）式两边左乘A又将（5.8）式两边乘以，得：由归纳假设知线性无关，故有：而，故只有，再由（5.8）式知：但，从而，则由此线性无关据归纳法知结论对任意m都成立定理5.4设是方阵A的m个互异特征值，是A的属于的个线性无关的特征向量（），则必定线性无关。推论设方阵A有个m互异特征值，A的属于的极大线性无关特征向量组中含有个向量，则：，且等号成立的充要条件是A有n个线性无关的特征

4、向量。证明：例3证明再继续施行上述步骤次，就得例4证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则推广：例5设三阶矩阵A的特征值为1，2，3，求下列矩阵B的特征值：例6解：四、特征值与迹证明：注意到A的特征多项式为：易知特征多项式中与两项只可能出现在主对角线的乘积项中,因此前的系数必为：；而特征多项式的常数项为即有由多相式根与系数的关系（韦达定理）即得：推论方阵A非奇异（可逆）当且仅当A没有零特征值例7设A为三阶方阵，且满足：，求解：由定义5.1知，若，则A有特征值；同理：例8解思考题（2）课本P144第8题.思考题解答