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《高中数学同步导学（2017新课标）（空间向量与立体几何）：专题五利用空间向量证明平行与垂直问》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量枳为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可.当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行.其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.【规律技巧】恰当建
2、立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.利用己知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将儿何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.【典例讲解】【例1】如图所示，平面/久9丄平^ABCD,ABCD为正方形,△/初7是直角三角形，且PA=AD=2,E,F,0分别是线段曲，PD,"的屮点.求证：/为〃平面济ZZ证明I平面PADA.平面ABCD,且为正方形，:MB,AP>//〃两两垂直.以外为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A-xyz,则水0,0,0),〃(2,0,0),Ca2,0),D(
3、0,2,0),AO,0,2),E©0,1),A(0,1,1),0(1,2,0).1,0),EG=g2,-1),设平面EQ?的法向量为77=(%,y,z),y=0,即Jx+2y~z=^,n•EF=O、则I_./?•EG=Q、令z=h则Z7=(l,0,1)为平面F/W的一个法向量,••0=(2,0,-2),:・PB•门=0,:.nLPB,•・・/曲面EFG,:.PB//平面EFG.【变式探究】如图，平面必CL平面是以/C为斜边的等腰直角三角形，E,F,0分别为/%,Pb的中点，^=16,PA=PC=O・设&是兀的中点〉证明：陀"平面应⑹证明如團，连接解'
4、：PA=PC}O是”的中点,:.PO_AC?又/••面刊匕丄面舫G・・了0丄面磁〉・.•△磁是以血;为斜边的直角三角形,:.BO_AC.【例2】如图，四棱柱ABCD—AACA的底面月彩是正方形，0为底面中心，川0丄平面ABCD,AB=AAi=型・证明由题设易知创，0B,创】两两垂直，以。为原点建立空间直角坐标系，如图.1・AB—AAi—寸5,・・OA—0B—0A.—1,0,0),凤0,1,0),Q(—1,0,0),0(0,一1,0),4(0,0,1).由Ai&=AB,易得氏(一1,1,1)・・.・^=(一1,0,-1),基(0,—2,0),爲=(
5、一1,0,1),:Xc•五=0,聶.爲=0,:.A,C]_BD?又凤厂I蹈二爲・・.恥丄平面B玖玖0・【针对训练】如图，正方形必勿与矩形北酬所在平面互相垂直，AB=^,处=1,M在EF上,且仙〃平面宓则於点的坐标为（）11)/退2B辺3強4NrNrB.D解析设府与加相交于0点，连接处由&#〃平1&1BDE,H.AJ/C平血昇僭；平IfijACEFC平而BDE=OE,:.AM//EO.又0是正方形朋皿对角线交点，••用为线段前的中点.在空间坐标系中〉矶0,0,1),巩&^2,1).由中点坐标公式，知点那的坐标伴，平，1}答案C1.已知平面G和平面0的
6、法向量分别为a=(l,1,2),b=lx,—2,3),且G丄0,则x解析2+6=0,/.%=—4.答案一42.如图，四棱锥戶一血09的底面为正方形，侧棱/为丄底面肋①，且PA=AD=2,E,F,〃分别是线段刊，PD,力〃的中点.求证：(1)刖〃平面肋〃；(2)皿丄平面AHF.【巩固提升】1、如图，在长方体ABCD—ABCA屮，AB=2,丛=£,肋=2筋P为GD•的中点，M为BCC.垂直A.平行B.异面D.以上都不对—>]—>2.正方体ABCD—AACd的棱长为日，点财在加上且仙=歹峪，川为禺〃的中点，贝U"洲为V15•3()A.<6答案A2.已知点
7、"是平行四边形MZU9所在的平面外一点，如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),力宀(一1,2,一1)・对于结论：①初丄肋；②〃丄血③件是平fflABCD的法向量；④M〃尿Z其屮正确的序号是答案①②③3.若直线/的方向向量为a,平面°的法向量为〃，能使1//。的是()A.a=(1,0,0),n=(—2,0,0)C.a=(0,2,1),/7=(-l,0,-1)B.a—(1,3,5),n=(1,0,1)D.a=(l,-1,3),/2=(0,3,1)解析若M"则a-zr=0,D中,a-u=lX0+(-1)X3+3X1=0,/.aln答案D5.若A
8、B=入CD+»CE,则直线肋与平面宓的位置关系是A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平而内
