选修4-5第二讲《证明不等式的基本方法》四校周忍

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1、精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号:学员编号：学员姓名：年辅辛级：孚科目：高中数学课时数：3学科教师：课题证明不等式的基木方法授课日期及时段教学目的1、掌握比较法和综合分析法证明不等式的方法；2、能够根据题bl的特征选择适当的方法，证明不等式。教学内容一.【课前检测】14—+—1.（重庆理7）已知a>0,b>0,a+b=2,则y二Q方的最小值是79A・2B.4C.2D.5【答案】Ch+2y—5>0<2x+y—7>0,2.（浙江理5）设实数％*满足不等式组卜鼻°'y$°'若X*为整数，贝I」3x+4y的最小值是A.14B.16C.17D.19【答案】B3.（全国大纲理3）下面四个

2、条件中，使成立的充分而不必要的条件是A.a>b+lB.a>b-C.a2>b2D.a3>lr【答案】AA={xl<2x+l<3},B={x%_2<0}4.(江西理2)若集合1兀,则=A{x-l1,则满足/Cd的兀的収值范围是(A)[T,2](B)10,2J(C)[1,+oo)(D)[0,+oo)【答案】Dyl,在约束条件x+〉'Sl下，目标函数沪兀+砒的最人值小于2,则m的取值范围为A.(1,1+V2)B.(1+V2,+00)C.(

3、1,3)D.(3,+00)【答案】A7.(湖北理8)己知向量(x+z,3),b=(2,y-z),且a丄b.若片满足不等式凶+惻°,则z的取值范围为A.卜2,2JB.卜2,3]C.[-3,2]D.卜3,3]【答案】D二、【知识梳理】不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。1、比较法是证明不等式的最基本的方法，它思维清晰，可操作性强，适用范围广泛，在不等式证明中常常采用。比较法通常分两类：第一、作差与零比较，作差后常需要把多项式因式分解，再由各因式的符号来确定差与零的人小：第二、作商与1比较，但要注意除式的符号，作商后常需把分了分母因式分解后约分再与1进行大小比

4、较。2、综合法常常用到如下公式:(1)6Z2+/?2^2ab(a,beR)(2)-2抵(a,bw/T)(3)-+-^2(ab>0)2ab(4)a+b~N(出，2@上$心⑸Q+"+°鼻爼灵@,b,ceR+)223利用综合法证明不等式时常需要进行灵活的恒等变形，创造条件去运用公式。3、对于不能有接分析出如何用综合法来证明的不等式，我们可以采用分析法，执杲索因，从要证明的结论出发,去追逆它要成立的条件，得到要证明的结论就是己知条件或己有的公式，从而说明所证不等式成立。另外，换元法、放缩法等对鮫复杂的不等式的证叨也很有帮助。三、【重难点突破】比校法作为不等式证明的最为常用的方法，比较

5、法分为作差比较法和作商比较法两种。1.作差比较法方法：要证A>B,只耍证明A-B>Q0步骤：作差——化简——确定符号——结论。适用范围：多项式不等式、分式不等式、对数不等式等。2.作商比较法A方法：若B>0,要证A>B,只要证明—>1：DA若B<0,要证A>B,只要证明石<10步骤：作商——化简——比较商与1的大小——结论。适用范用：如杲不等式的两端是乘积的形式、幕的形式、指数的形式，则常用此法。注：无论是作差比较法还是作商比较法，第二步所做的工作都是(对差或商)进行化简变形，其冃的就是为了更好地判断差的符号或商的大小。我们经常用到的也就是作差与作商比较，比如在证明判断函数的

6、单调性的时候，往往用到。3、综合法是“执因索果”，分析法是“执果索因”，两者的思路是和逆的过程。而在分析问题时，往往需要把两者结合起来运用。用综合法证明不等式的逻辑关系是：A=>色=>场=>•••=>场=>3。分析法证明不等式的逻辑关系是：证不等式“A>B”，即要证不等式“C>D”；而即要证不等式“C>D即要证不等式“E>F''；；即要证不等式-X>Y而不等式-X>Y-是成立的；所以原不等式成立四、【例题与讲解】（一）、比较法比较法证明不等式分为两种和“0”比较，和“1”比较。1、和“0”比较，即作差比较>0a>b要证明a>b最基本的方法就是证明a-b>0,即把不等式两边

7、相减，作差于0比较人小。a-b==^^>a=b<0a2a>0,试比较A=l+a2与B二」一的大小。a解：A4M+宀丄」+—1-a1-a—Cl—d+1)l-aa-i*•*cieR+,ci~—a+l〉0f旦成立.由条件知0ah-^-a-}-h-l证明：v(a2+Z?2)-(dZ?+d+b-l)=a2--b2-ab-a-b--l199=-(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=丄[(/