15. 二次函数

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1、二次函数中考总复习郧县南化中学刘正成性质:1.开口方向a>0,开口向上a<0,开口向下2.对称轴3.顶点坐标4.与x轴的交点由来决定5.与y轴的交点(0,c)例3：如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1,0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物

2、线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值.考点：二次函数综合题。分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小；（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x

3、2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；9.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3/2，-25/8）的抛物线交y轴于点C（0，-2），交x轴

4、于点A，B（点A在点B的左侧）．P点是y轴上一动点，Q点是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）P点运动到何位置时，△POA与△ABC相似？并求出此时P点的坐标；（3）当以A、B、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形时，求Q点的坐标分析：（1）可设抛物线的顶点式为y=a（x-3/2）2-25/8，将点C（0，-2）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据两点距离公式计算出AC、AB、BC的长，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，再根据相似三角形的判定和性质得到比例式，求出P点的坐标；（3）分三种情况：①Q点

5、的横坐标为-5；②Q点的横坐标为5；③Q点的横坐标为-1+4=3；代入抛物线的解析式求出它们的纵坐标，从而求得Q点的坐标．解：（1）设抛物线为y=a（x-3/2）2-25/8，∵抛物线经过点C（0，-2），∴-2=a（0-3/2）2-25/8，a=1/2．∴抛物线为y=1/2x2-3/2x-2；（2）在原解析式中，令y=0，则1/2x2-3/2x-2=0，解得x1=-1，x2=4，则点A为（-1，0），点B为（4，0），则AB=5，AC=√5，BC=2√5，∵（√5）2+（2√5）2=52，∴△ACB是直角三角形，①设OP的长为x，则有1/x=√5/2√

6、5，解得x=2；②设OP的长为y，则有y/1=√5/2√5，解得y=1/2；则P点的坐标为（0，±2），（0，±1/2）；（3）因为以A、B、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形，所以分三种情况：①Q点的横坐标为-5，y=1/2×（-5）2-3/2×（-5）-2=18；②Q点的横坐标为5，y=1/2×52-3/2×5-2=3；③Q点的横坐标为-1+4=3，y=1/2×32-3/2×3-2=-2．所以Q点的坐标为（-5，18），（5，3），（3，-2）．