概率论与数理统计第2章

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1、P43习题一18解:设{经过n次交换后，黑球出现在甲袋中}即2.3几种常见的离散型分布一、两点分布二、二项分布三、泊松(Poisson)分布四、超几何分布*定义若一个随机变量只有两个可能的取值,其分布为且特别地,点分布,即参数为的两则称服从处的两点分布.参数为若服从处则称服从参数为的分布.一、两点分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明例1抛掷一枚质地均匀的硬币,有两种可能的结果：H表示正面朝上，T表示背面朝上，引入变量X，令pi=P{X=i}=0.5(i=0,1)X01

2、p0.50.5X的概率分布表：概率分布为例2200件产品中,有196件是正品,则服从参数为0.98的两点分布.于是,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定二、二项分布定义若随机变量X的所有可能取值为0,1,2,,n,其概率分布为…很显然,n重伯努利试验中成功的次数服从二项分布事实上,二项分布就是来源于n重伯努利试验模型n=1时，即P{X=0}=1-p,P{X=1}=pP{X=k}=pk(1-p)1-k,(k=0,1)，(0-1)分布性质(1)(2)二项分布的图形特点:对于固定及当增加时,概率先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布中最可能出现次数的定义与推导则

3、称为最可能出现的次数当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布固定p,随着n的增大，其取值的分布趋于对称当(n+1)p整数时,在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值例如:独立射击5000次,命中率为0.001,解(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.本例启示例3一张考卷上有5道选择题，每道

4、题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解每答一道题相当于做一次伯努利试验，则例4一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后,求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。解X～B（10,0.9）(1)P(X=8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)练习设X~B(2,p)，Y~B(4,p)，已知P(X1)=8/9，求P(Y1).解:由P(X1)=8/9，知P(X=0)=1/9.由此得：P(Y1)=1P(Y=0)所以1/9=P(X=0)=(1p)2，从而解得:p=2/3.=1-(1p)

5、4=80/81.随机变量X所有可能取值为0,1,2,…,取各个值的概率称X服从参数为的泊松分布,记为X~P().(1)P{X=k}0.三、泊松(Poisson)分布性质泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.观测到的粒子数k观测到k个粒子的次数发生的频率0570.0220.02112030.0780.08123830.1470.15635250.2010.20145320.2040.19554080.1

6、560.15162730.1050.09771390.0530.0548450.0170.0269270.0100.01110+160.0060.007总计26080.9991.00服务台在某时间段内接待的服务次数X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数可以由观测值的平均值求出。实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从Poisson分布的例5一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为6的Poisson分布

7、，问一年中不多于两次意外断电的概率.解设一年中的意外断电次数为X所以,一年中不多于两次断电的概率为=0.06197查表(P299附表2)已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从的泊松分布，分别求（1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率例6解二项分布的泊松逼近对二项分布当试验次数很大时，计算其概率很麻烦.例如，要计算n=5000故须寻求近似计算方法.这里先介绍二项分布的泊松逼近，在第五章中还将介绍二项分布的正态逼近.泊松定理在重伯努利实验中，事件在每次试验中发生的概率为若当时，为常数),则有该定理于1