近场测量相关公式推导

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1、f(ax)e~i2^xdx=—厂匕水讥'")〃(◎)-—F(—)f(t)»F(w)f(m)»l汀咔必)问题1：傅立叶变换到底有没有2pi,其实就是坐标不同，射电望远镜一般是Hz。(3)/(xjz)二莎卩(仙)[cosO+1]严吟切・(8)f(u,v)=F«，n)exp{-ik«u+T]v)}d

2、维傅立叶变换(赫兹频率)如果认为cos(0)«1r«/?—(fu+zjv)那么不缺少1/2,但是将/?涯出来，没冇负号，应是下式ipikR,f(*v)=fF(Cr))exp{-ik^u+T]v)}d^dr)由于k=竿，代入公式(T)Af(u,V)=WJF(«，H)exp{一学«u+T]V)}d

3、/)=JJf(^u,v)e2m^u+liv^dudv因此如果将公式2变成标准傅里叶变换形式，需要进行如下变量代换a将公式（4）代入（3）得f(u,v)FJF(馬)exp{-i2ir(扌u+£v)}dadB⑸如果将（2）小做如下变换:Vip-lKK小f(入a,入B)=^-^-jF(S)exp{-i2Ti@+r

4、B)}d«dT](6)ielkRr、A/?)=j—/F(f,T])exp{-2ni^a+加)}d§d?j(7)此时f（入a,入B）与盘具有傅里叶变换关系，其傅里叶反变换为:F(©,r

5、)=Jf(入a,入0)exp{i

6、2Tr(©a+r)0)}dad卩F«,q)=Jf(Xa,Xp)exp{i2n«a+r

7、p)}dadpie_ikR2ARi。皿只2AR此时f（入a,入®与+甞F（«,ii）具有傅里叶变换关系，其傅里叶反变换为：人KieikRA~R~F(S)=J/(Aa,A/?)exp{i27r((a+rj0)}dad0做如下变换:uVie_ikR/1f丟飞-f(s)Tf(u,v)exp{i芋«u+nv)jd(u)d(v)如杲忽略i/入则公式变为:iRjkRReikRi入Re~ikRF(C")弓(《u+r

8、v)]d(咖(v)F(D=2^^—J

9、f(u,v)exp

10、iy(^u+qv)jd(u)d(v)iAf(u,v)exp{ik«u+?/v)}d(u)d(v)FfXn)=2RelkRJf(u,v)exp{ik((u+r

11、v)}d(u)d(v)77)=—Re~ikR[f(u,v)exp{ik^u+r/v)}d(u)d(v)参见Siler编写的书，1949版，169页开始①傅立叶变换②傅立叶逆变换频移性（调制定理）若g©F（e）、几）严》（仞+5）5为常数，注总土号证明：由定义f⑴严RJ'f（t）ejt^e^dlJ—ao=F（s）/（必（频移因子）注意：不是乘以37/

12、127f4.3.5TimeandFrequencyScaling"x(r)V^X(加)I•~—X(——),aisreal同aProof:x(at')=fXdz2?rJ・8=rX(ju/a)eJU,tdu2亦J・8

13、a

14、then-3）一简心5Especially,x(-r)梦'？x(»Alinearscalingintimebyafactorofacorrespondstoalinearscalinginfrequencybyafactorofl/“，andviceversa.从这里來看,结果不同。如果matlab中FFT与

15、定义中FFT不一致，则需要系数变换，这样会导致FFTF(«,n)expl-ik(«u+T]v—'J;pikRf(u,v)尊〒ikR72Ip2、—F«y)])exp(ik2R)exp{-ik«u+iiv)}d«dTif(u,v)=这样ie'kR亍_那么—F«,r

16、）exp（ik弓严）与f（u,v）就形成了傅里叶变换对KZKieikRX^FRn)exp(ik2rieikR殳+耳2FRnjexpCik52R')2R入R/、入R丨/=—exp-ik（R+由于©ri与u,v无关，可以代入积分符号中:z、ARF«,ti）=—近似等于公

17、式7屮的前三项罕+子f)=If(u,v)exp{ik(^u4-r

18、v)}dudv=Jf(u,v)exp{ik(^u+r)v)}dudv+严f(u,v)exp{ik(«u+r)v)}dudvf(u,v)expik(—R+©u+r)v—ik«2+耳2)詁dudv所以:—R+e+w—ik密若aF(S)斗f(u